Otras carreras Ejercicio con Resorte y Polea

[Lecf]

Tengo este problema.
Polea e hilo de masas despreciables con hilo inextensible.
Inicialmente con la polea trabada el resorte se alarga x = 30 cm.
Despues se saca la traba el resorte modifica su elongación a x' = 10 cm.
Calcular las masas que cuelgan de las poleas m1 y m2.

Yo lo resolvi como trabajo de fuerza conservativas (Wfc = 0)

[[Beto]]

Re: Ejercicio con Resorte y Polea

Hola, no esta del todo bien tu solución, debido a que cuando tu dices que $W_{NC}=0$, no es cierto ¿Por qué? ... la razón es la siguiente: inicialmente la polea esta trabada (esto implica tensiones distintas en los lados de las cuerdas), y para que se la destrabe tiene que haber una fuerza externa que logre ese cometido (despues de eso la tension en la cuerda será la misma), entonces se tendrá lo siguiente:

1º Cuando la polea esta trabada, al estar en equilibrio se tiene que:

$$T_1+T_2=kx_1$$

Pero haciendo el D.C.L de cada una de las masas se tiene que:

$$\begin{array}{c}<br /> T_1=m_1g\\\\<br /> T_2=m_2g<br /> \end{array}$$

De (1) y (2), se tiene:

$$(m_1+m_2)g=kx_1$$

2º Cuando la polea se destraba, las masas se estarán moviendo pero la polea estará en equilibrio por condición del problema (no habrán oscilaciones), entonces la polea está en equilibrio, por tanto:

$$2T=kx_2$$

Luego, del diagrama de cuerpo libre de las masas en movimiento se tiene que:

$$\begin{array}{c}<br /> m_1g-T=m_1a\\\\<br /> T-m_2g=m_2a<br /> \end{array}$$

De donde:

$$T=\frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$$

Luego reemplazando (6) en (4):

$$\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}g=kx_2$$

Finalmente de (7) y (3) puedes obtener el valor de las masas:

$$\begin{array}{c}<br /> m_1=\dfrac{k}{2g}\left(x_1\pm\sqrt{x_1^2-x_1x_2}\right)\\\\<br /> m_2=\dfrac{k}{2g}\left(x_1\mp\sqrt{x_1^2-x_1x_2}\right)<br /> \end{array}$$

Que haya dos signos solamente implica que las masas son intercambiables, tendrías que tener el dato de cual masa es mayor para dar una sola respuesta.

Si es que no se entendió algo vuelve a preguntar.

Un saludo.

[Lecf]

Re: Ejercicio con Resorte y Polea

Gracias por responder. Ahora tengo unas dudas
¿Por que la primera ecuacion es T1 + T2 = K . x1 ?
la suma de las tensiones es la fuerza que actua sobre el resorte hacia abajo, no tendria que ser K/2 . (x1)^2

y la otra es la (4)
2T = k.x2

No entiendo por que las tensiones son iguales a K.x

Despues en la solución.
k/2g hablando en unidades seria
K = N/m
g = m/(s)^2
Lo que esta entre parentesis al final queda todo en m.

Si hago la division me queda kg.m.(m) => kg.(m)^2
y esa no es una unidad de masa

[[Beto]]

Re: Ejercicio con Resorte y Polea

Bueno veamos:

Gracias por responder. Ahora tengo unas dudas
¿Por que la primera ecuacion es T1 + T2 = K . x1 ?
la suma de las tensiones es la fuerza que actua sobre el resorte hacia abajo, no tendria que ser K/2 . (x1)^2

No, te estas confundiendo con la energía potencial elástica, la fuerza elástica se calcula según $F=Kx$. Además la fuerza elástica no actúa hacia abajo si no hacia arriba (tiende a que el resorte recupere su longitud natural).

Y en este caso coloco que las tensiones son $T_1$ y $T_2$, pues al estar la polea trabada, es como si fueran cuerdas distintas, cada una con diferente tensión.

Como la tensión jala hacia abajo y la fuerza elástica hacia arriba, para que la polea esté en equilibrio tienen que ser iguales.

y la otra es la (4)
2T = k.x2

No entiendo por que las tensiones son iguales a K.x

Es la misma cuerda, las tensiones son iguales. Igual que lo anterior suma de fuerzas hacia abajo igual a suma de fuerzas hacia arriba.

Despues en la solución.
k/2g hablando en unidades seria
K = N/m
g = m/(s)^2
Lo que esta entre parentesis al final queda todo en m.

Si hago la division me queda kg.m.(m) => kg.(m)^2
y esa no es una unidad de masa

Veamos haciendo el análisis dimensional correspondiente($L$:longitud, $T$: tiempo y $M$: masa), tenemos que:

• $[K]=MT^{-2}$
• $[g]=LT^{-2}$
• $\dst \left[x_1\pm\sqrt{x_1^2-x_1x_2}\right]=L$

Por tanto:

$$\left[\frac{k}{2g}(x_1\pm\sqrt{x_1^2-x_1x_2})\right]=\frac{MT^{-2}}{LT^{-2}}L=M$$

Si esta bien, la confusión es tuya, si tienes alguna otra duda pregunta.

Un saludo.

[Lecf]

Re: Ejercicio con Resorte y Polea

Tengo una ultima duda.
Decis que de

y

Obtenes:


Que hiciste?, Despejaste de la primera m1, luego lo reemplazaste en la segunda, y de ahi ya no pude continuar para obtener las mismas ecuaciones que vos.

[[Beto]]

Re: Ejercicio con Resorte y Polea

Que hiciste?, Despejaste de la primera m1, luego lo reemplazaste en la segunda, y de ahi ya no pude continuar para obtener las mismas ecuaciones que vos.

Despejo $m_2$ de la primera, reemplazo en la segunda y se tiene una ecuación cuadrática, de donde obtengo $m_1$, luego vuelvo a reemplazar en la primera y obtengo $m_2$.

Un saludo.