Secundaria (ejercicio) Potencia e impulso

[propanotriol]

El ejercicio dice así:

Un avión a reacción vuela horizontalmente a 810km/h. Cada segundo, 3 kg de carburante queman 80kg de aire. Los gases son expulsados a 2200km/h en relación al avión. Determina el impulso del motor y la potencia.

Tengo la resolución del ejercicio hecha, pero no llego a entenderla, no entiendo el razonamiento y es sobre eso que pido ayuda, si alguien me pudiera explicar el razonamiento que hay detrás del ejercicio estaría muy agradecido.

No entiendo muy bien lo que debo hacer...

[Dani_lr]

Re: (ejercicio) Potencia e impulso

Hola,

La potencia del avión depende de la fuerza de empuje y de su velocidad. Considerando que las variables de tu problema se mantienen constantes, cosa que simplifica mucho los cálculos y te evita integrar, la fuerza de empuje la puedes calcular conociendo el cambio temporal de la cantidad de movimiento de tu sistema.

Conoces la variación de masa del avión y la velocidad de salida de los gases con lo que deberías ser capaz de conocer la variación temporal de la cantidad de movimiento que equivale al empuje experimentado.

Por último, si conoces la fuerza de empuje y la velocidad a la que se mueve tu avión puedes calcular fácilmente la potencia.

$\vec{F}=\frac{\partial m\vec{v}}{\partial t}$

$dW=\vec{F}\hat{\imath}dx$

$P=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\vec{v}$

Con esas fórmulas deberías ser capaz de resolver tu problema.

Saludos.

[propanotriol]

Re: (ejercicio) Potencia e impulso

Entonces, el sistema sería lo que pasa entre el carburante y el aire e ignoro todo lo demás.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Quedaría así para el impulso?

Y luego sería usar la fórmula que me has puesto. Pero me interesa más si lo del impulso está bien o no...

Gracias! un saludo.

[Samir M.]

Re: (ejercicio) Potencia e impulso

Hola.

Si desprecias la fuerza de rozamiento del aire sobre el avión, como te dice el enunciado que el avión vuela horizontalmente, entonces no actúa ninguna fuerza sobre éste (en su movimiento horizontal) y puedes considerar que el momento lineal se conserva. Supongamos que la masa del avión en un momento $t$ es $m$, y que se mueve a una velocidad $v$. Entonces, su momento lineal será

$$p_i = mv$$

.

Ahora, supongamos que estamos en un momento $t + \Delta t$; la masa del avión ya no será $m$, será $m - \Delta m_g$ siendo $\Delta m_g$ los gases que han sido expulsados del cohete (la masa que ha perdido). La nueva velocidad del avión será $v + \Delta v$ (al ser menor la masa, la velocidad del avión ya no es la misma, aumenta). Entonces, el momento lineal final se puede escribir como

$$\displaystyle P_f = (m - \Delta m_g) (v + \Delta v) + \Delta m_g (-v' + v)$$

siendo $v'$ la velocidad de expulsión de los gases. Como hemos dicho que el momento lineal se conserva, entonces $\Delta p = 0$ luego

$$\displaystyle p_i = p_f \Rightarrow mv = (m - \Delta m_g) (v + \Delta v) + \Delta m_g (-v' + v) \Rightarrow = m \Delta v - \Delta m_g - \Delta m \Delta v =0$$

haciendo el límite cuando $\Delta t \to 0$ de la ecuación (3) tenemos que

$$\displaystyle m \frac{dv}{dt} - v'\frac{d m_g}{dt} = 0$$

pero la misma masa que pierde el cohete, es la misma masa que sale de él, luego la masa total del sistema masa que sale + masa que entra es constante, luego $0 = \Delta m_g + \Delta m$ y en el límite $\Delta t \to 0$ tenemos que $dm_g + dm = 0 \to dm_g = -dm$, luego

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Como el cohete expulsa gases (pierde masa) a una velocidad constante $k = 80 \frac{kg_{aire}}{ s} + 3 \frac{kg_{carb}}{s} = 83 \frac{kg}{s}$, entonces $\displaystyle -\frac{dm}{dt}=k \to m = m_0 - kt$ por lo que obtenemos finalmente que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Como $\displaystyle I = \Delta p$, inmediatamente vemos que el impulso del cohete es cero.

Para hallar la potencia, basta notar que $P = \frac{dE}{dt}$ siendo $E$ la energía total del sistema cohete-gases expulsados, o sea, la suma de sus energías cinéticas. La expresión de la energía cinética de los gases en un instante t queda como

$$\displaystyle dE_c = \frac{1}{2} dm (v-v')^2$$

y teniendo en cuenta que $\displaystyle -\frac{dm}{dt}=k$ y la expresión (6) sustituyes e integras respecto del tiempo.

Cuando integras y sumes las energías cinéticas, te quedará que $\displaystyle E =\frac{1}{2}kt {v'}^2$ luego $P = \frac{dE}{dt} = \frac{1}{2}k {v'}^2$

Saludos.

[propanotriol]

Re: (ejercicio) Potencia e impulso

uou! Muy muy completo y detallado, francamente muchas gracias por el esfuerzo! Te lo agradezco sinceramente!

Un saludo!