1r ciclo Velocidad y número de vueltas

[sater]

Buenas. Tengo el siguiente problemilla en mecánica:
Un cuerpo se mueve en el interior de una cavidad
esférica, siendo μ el coeficiente de rozamiento entre el
cuerpo y la cavidad. Determine el número de vueltas
que debe dar el cuerpo antes de que su velocidad se
reduzca e veces

He probado varias cosas pero no llego a resultados satisfactorios, sobre todo porque en teoría la solución es $N=\dfrac{1}{2\pi\mu}$ y me extraña porque no entiendo que no dependa de las veces que se reduzca la velocidad. ¿Qué opináis sobre eso?
un saludo

[Dani_lr]

Re: Velocidad y número de vueltas

Hola,

El procedimiento que yo he seguido es el siguiente, espero que te ayude.

Partimos de que la fuerza centrífuga que experimenta el cuerpo es:

$\vec{{F}_{c}}=m\frac{{v}^{2}}{R}\hat{r}$

Siendo $\hat{r}$ el vector unitario en la dirección radial y hacia afuera de la esfera.
La fuerza de rozamiento o de fricción será:

$\vec{{F}_{f}}=-\mu m\frac{{v}^{2}}{R}\hat{t}$

Donde $\hat{t}$ representa el vector unitario en la dirección tangencial a la esfera en el punto de contacto y en el mismo sentido que el movimiento.
Entonces,

$\vec{{F}_{f}}=-\mu m\frac{{v}^{2}}{R}\hat{t}=m\vec{{a}_{t}}=m\frac{dv}{dt}\hat{t}$

De esta última ecuación,

$\frac{dv}{dt}=-\mu\frac{{v}^{2}}{R} \to dt=-\frac{R}{\mu {v}^{2}}dv$

El número de vueltas N se obtendrá dividiendo la longitud recorrida por el cuerpo entre el perímetro de la circunferencia (la de máximo radio de la esfera). Para ello se calcula la longitud recorrida como la siguiente integral definida*, entre el instante inicial y final (pido disculpas porque aún no me manejo al 100% con el editor de ecuaciones y he tenido que poner una integral sin los límites de integración):

$\Delta s= \int vdt=\int -v \frac{R}{\mu {v}^{2}}dv$
$\Delta s=\int -\frac{R}{\mu}\frac{dv}{v}=-\frac{R}{\mu} ln(\frac{{v}_{1}/e}{{v}_{1}})=\frac{R}{\mu}$

Los límites de integración serían ${t}_{1}\to{t}_{2}$ para dt o bien ${v}_{1}\to{v}_{2}=\frac{{v}_{1}}{e}$ para dv
Por tanto, N será:

$N=\frac{\Delta s}{2\pi R}=\frac{1}{2\pi \mu}$

Edito para aclarar los pasos intermedios de la integración.