Divulgación Dos objetos de distinto peso caen a la vez

[asdlady]

Hola, tengo una duda existencial y tanto me come la cabeza que me he registrado en el foro sólo para preguntarla, que seguro que lo que para mi es dificilísimo para mucha gente de por aquí estará chupado contestármelo!

A ver, yo sé que dos objetos en caída libre, independientemente de su peso, caen a la misma velocidad al suelo si despreciamos el rozamiento del aire, ¿verdad? Pues mi pregunta es, ¿caen EXACTAMENTE a la misma velocidad? Se supone que todo cuerpo tiene su propio campo gravitatorio, y que este campo gravitatorio debería influir en la velocidad con la que es atraído a la Tierra, ¿no? Por poner un ejemplo extremo: ¿caerían un lápiz y la Luna a la misma velocidad?

Muchas gracias y disculpad si me he equivocado de sección para postear esto

[alexpglez]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Newtonianamente pienso que la luna atraería algo a la Tierra, por lo que la caída no duraría tanto y le daría menos tiempo a acelerarse. Y creo que la gravedad con la que la luna es atraída se haría mayor ya que la Tierra se acercaría algo a ella. Así que no sabría decir muy bien.
Por otra parte para estos ejercicios que se empiezan a hacer en 4 de la eso, se desprecia la gravedad de los objetos que se lanzan, ya que por ejemplo un lápiz se podría calcular su campo gravitatorio con la calculadora y lo aproximaría a 0.

Cuánticamente supongo que lo que observamos, que los objetos caen a la misma velocidad sin rozamiento, debe ser lo más probable.

[Visitante]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Cuando una cae en caída libre, no solo tu caes sino que la Tierra también cae hacia ti, es decir, cuando tu saltas no solo tu te mueves hacia la Tierra sino que la Tierra lo hace también hacia ti, pero depende de la intensidad del campo gravitatorio, de cuerpos como un lápiz es despreciable como ha comentado alexcpglez, pero la Luna es otra cosa, por lo que la Luna cae hacia la Tierra y la Tierra hacia la Luna, así que la Luna no tardaría lo mismo que un lápiz en caída libre.

Saludos,
Malevolex

[visitante20160513]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Para afinar tanto en este problema de mecánica deben tenerse en cuenta los campos gravitatorios de los tres cuerpos, la tierra, la luna y el lápiz. Por lo tanto la cosa no es tan sencilla. El primer paso sería definir un sistema de referencia fijo ya que si admitimos que la tierra se va a mover atraída por la luna y por el lápiz, el primer paso obligado es ese. A continuación establecer las ecuaciones del movimiento para cada uno de los cuerpos en ese sistema utilizando la ley de gravitación universal. Creo que el problema va a ser demasiado complejo para poder resolverlo con unas sencillas ecuaciones.

Este artículo creo que aporta algo de luz: Problema de los tres cuerpos

Salu2, Jabato.

[Al2000]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Me da la impresión de que no has terminado de digerir aquello de que los cuerpos caen con la misma aceleración en el vacío

PD. Respuesta a Malevolex...

[MrM]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

En primer lugar, consideraré que:

a) La Luna y el lápiz se dejan caer por separado en experimentos aparte, de modo que el lápiz no afecta a la Luna y viceversa.
b) El campo gravitatorio terrestre es constante y no varía con la distancia.

Podemos distinguir dos casos:

1) El sistema de referencia es inercial (por ejemplo, cualquier punto del espacio exterior).
Cuando tiremos el lápiz, veremos que cae con una aceleración g. La tierra sufrirá también una aceleración, pero despreciable (pues su masa es enorme, y la aceleración es muy pequeña).
Cuando tiremos la luna, vemos que cae también con una aceleración g, solo que, en esta ocasión, la Tierra también tendrá una aceleración significativa, por lo que veremos que ambos cuerpos se mueven (aunque repito, la aceleración de la Luna respecto a nuestro sistema inercial sigue siendo g).

2) El sistema de referencia es no inercial (en concreto, la propia Tierra).
En este caso, al dejar caer el lápiz veremos que tiene aceleración g. Pero si dejamos caer la Luna, veremos que su aceleración relativa respecto a la tierra es mayor que g. Esto ocurre porque nuestro sistema de referencia está acelerado, y por tanto las aceleraciones relativas de los cuerpos respecto al sistema de referencia no son las mismas que respecto a un punto del espacio (que un sistema de referencia inercial y NO está acelerado).


Por lo tanto, supongo que habría que matizar un poco esa frase. Es cierto que todos los cuerpos caen con la misma aceleración en el vacío respecto a un sistema de referencia inercial. Pero si el sistema de referencia es La Tierra, habría que tener en cuenta la aceleración a la que ésta está sometida, y, evidentemente, esta aceleración depende del cuerpo que esté cayendo.

Un saludo.

[Visitante]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Por supuesto que la aceleración es la misma en el vacío, pero yo no he dicho eso en ningún momento, lo único que he dicho es que el tiempo que tarda la luna en caer es distinto que el de un lápiz ya que la Tierra se mueve más significativamente hacia la Luna que hacia el Lápiz por el campo gravitatorio de cada uno.

[felmon38]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Jabato, cuando dices

El primer paso sería definir un sistema de referencia fijo

yo entiendo que te refieres a un sistema inercial, pero te recuerdo que cualquier sistema de referencia que se mueva con vector velocidad constante respecto de un sistema inercial, también se comporta como sistema de referencia inercial,por lo que el adjetivo "fijo" no sé a que te refieres (Perdona que insista pero no me puedo aguantar)
Saludos

[asdlady]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Bueno, creo que me queda claro que efectivamente la Luna y el lápiz no caen a la misma velocidad. Por lo que he podido entender, la Luna caería (o tocaría suelo terrestre) más rápido debido a que la Tierra también "cae" hacia ella ligeramente.

Muchas gracias a todos por las respuestas

[visitante20160513]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Bueno, la verdad es que no hay que perder de vista que las consecuencias físicas que se deducen de un razonamiento matemático a partir de un determinado modelo solo son válidas dentro de ese modelo y no lo son en general para cualquier otro. Las conclusiones de Galileo para el que dos objetos sometidos a la acción de la gravedad caen con la misma aceleración y por lo tanto llegan al suelo con la misma velocidad solo son válidas con el modelo que se tenía en su época, es decir la acción terrestre, $g$, es constante para todos los objetos y en todos los puntos. Dicho modelo no es válido a partir de Newton, con su famosa ley de gravitación universal que modificó las leyes del universo, y aún después Einstein perfeccionó el modelo de Newton. Extender las conclusiones del modelo galileano a otros modelos puede llevar a conclusiones erróneas.

El modelo galileano se sigue utilizando en la actualidad debido a su sencillez y a su utilidad en muchas aplicaciones de la técnica, pero nunca hay que perder de vista donde se encuentran los límites de las conclusiones derivadas de un determinado modelo. Si la NASA hubiera seguido utilizando el modelo galileano, nunca hubiéramos llegado a la luna, desde luego.

Afirmar que dos cuerpos caen a la misma velocidad en el campo gravitatorio terrestre solo es una afirmación válida en el primer modelo (Galileo), pero eso nunca es cierto (o al menos necesita demostración) en los otros modelos más avanzados, ya que el modelo galileano de la gravedad tiene validez tan solo en la superficie terrestre, pero en cuanto nos alejamos de dicha superficie el modelo deja de tenerla, aunque desde luego Galileo murió sin saberlo.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

La pregunta tiene bastante más enjundia de lo que parece y, si no estoy equivocado, la clave no está en lo que dice Jabato, sino en el problema de dos cuerpos.

Para ponérselo fácil a adslady, digamos que lo que cuenta no es la masa del cuerpo que cae, sino la suma de las masas del cuerpo y de la Tierra. Como al considerar bolígrafos o manzanas el resultado es prácticamente el mismo la consecuencia es que la velocidad también lo es (por supuesto si las condiciones son las mismas -partir del reposo desde el mismo punto-). Ahora bien, si el bolígrafo tuviese la masa de la Luna (pero no sus dimensiones) llegaría al suelo un 0,6% más rápido que uno ordinario. Si tuviese la de la Tierra lo haría un 41% más rápido.

Como lo que nos gusta por aquí es la Física explicaré los motivos.

Antes de nada aclaremos el modelo para el problema: la Tierra será una masa esférica $M$ de radio $R$ y desde una altura $h\ll R$ sobre la misma parte del reposo una masa $m$, a la que no impondremos la restricción usual de que $m\ll M$.

Como la energía mecánica del sistema se conserva tenemos que

$\dst \frac{1}{2}\mu v^2-G\frac{Mm}{R}=-G\frac{Mm}{R+h}$

donde $\dst\mu=\frac{Mm}{M+m}$ es la masa reducida del sistema. De aquí se sigue que

$\dst v=\sqrt{\frac{2G(M+m)}{R}}\,\sqrt{\frac{h}{R+h}}$

Si usamos la aproximación $R+h\approx R$ tenemos que

$$\dst v\approx \sqrt{2G\frac{(M+m)}{R^2}h}$$

Si la masa del objeto que cae es despreciable frente a la de la Tierra tendremos la velocidad usual

$$\dst v_0\approx \sqrt{2G\frac{M}{R^2}h}$$

Combinando (1) y (2) encontramos el aumento relativo, y entonces una aproximación al error relativo que se comete al usar (2) en lugar de (1):

$$\dst\frac{\Delta v}{v_0}=\sqrt{1+\frac{m}{M}}-1$$

Por tanto, si $m=0,0123 M$, como sucedería si el bolígrafo tuviese la masa de la Luna, el aumento relativo sería $\sqrt{1,0123}-1=\notcien{6}{-3}$, es decir, el 0,6% que señalé antes. Si $m=M$ sería de 0,41.

Para masas mucho menores podemos aproximar el lado derecho de (3) mediante $\dst \frac{m}{2M}$ de manera que

$$\dst\frac{\Delta v}{v_0}\approx \frac{m}{2M}$$

Así por ejemplo, para una manzana de 0,1 kg despreciar su masa conduce a un error relativo de $\notcien{8}{-27}$, por tanto absolutamente despreciable.

[visitante20160513]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Lo dicho, la afirmación de que las dos masas caen a la misma velocidad solo resulta válida para el modelo galileano, no para el newtoniano.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Pero la causa no está en que la gravedad terrestre sea variable, ni tampoco es preciso la ley de gravitación universal. Es más, admitamos que g=cte, de manera que la conservación de la energía mecánica debe escribirse

$\dst\frac{1}{2}\mu v^2=m g h$

Al despejar la velocidad final tendríamos

$\dst v=\sqrt{2gh}\,\sqrt{1+\frac{m}{M}}=v_0\sqrt{1+\frac{m}{M}}$

(recordemos que aquí $v_0$ representa la velocidad final para un cuerpo de masa despreciable) por lo que el resultado final es exactamente el mismo de antes:

$\dst\frac{\Delta v}{v_0}=\sqrt{1+\frac{m}{M}}-1$

Como vemos, la clave está en la necesidad de considerar la masa reducida del sistema. Es por ello que antes señalé que el origen está en el problema de dos cuerpos y no en la forma concreta de la gravedad.

[visitante20160513]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Galileo suponía, creo, que la tierra era inamovible, o dicho de otra forma, que no resultaba atraída para la acción de los otros cuerpos. En ese supuesto la afirmación es cierta, todos los objetos caen a la tierra a la misma velocidad (si se dejan caer desde la misma altura) independientemente de su masa, tamaño y forma. En los otros modelos conocidos eso no es cierto. El principio de acción y reacción es de Newton y por lo tanto Galileo no estaba obligado a concluir que si la tierra atraía a otros cuerpos entonces esa atracción también le afectaba a ella misma. Así pues suponiendo que $g$ es constante y que la tierra es inamovible, dos supuestos del modelo de Galileo, entonces la afirmación es cierta, pero solo lo es si aceptamos dicho modelo. Así pues es necesario respetar los límites del modelo, y usar sus conclusiones en un entorno de validez. Fuera de ese entorno las conclusiones no son necesariamente válidas, y la respuesta debe ser no, no todos los objetos que son atraídos por la tierra caen a la misma velocidad. Y eso lo podemos demostrar en el modelo de Newton y en el relativista. No es un hecho experimental demostrable, solo es una conclusión del modelo matemático empleado, pero es que además resulta ser falsa. Es por lo tanto un espejismo derivado solo del modelo matemático empleado. Para mí, la razón de concluir tal cosa está en el modelo. En el entorno de validez del modelo la afirmación es correcta, fuera de ese entorno es falsa.

Debemos siempre saber distinguir la diferencia que existe entre una deducción lógica y un hecho experimental, las primeras son tan cuestionables al menos como el modelo en el que se realizan y a menudo suelen ser falsas o tan solo aproximadas, los segundos son incuestionables, al menos deberían serlo para un físico. Está suficientemente claro en este caso, creo, que la afirmación es una deducción lógica basada en el modelo empleado y no un hecho experimental que debamos o podamos considerar incuestionable.

Salu2, Jabato.

[felmon38]

Re: Dos objetos de distinto peso caen a la vez

Jabato, cuando dices que la Tierra está inmóvil, ¿que quieres decir?. En Mecánica el concepto de posición de un sólido rígido tiene un carácter relativo, siempre es la posición respecto de otro sólido, así que el movimiento, que se deriva de la posición, tambien tendrá carácter relativo.
Saludos

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