Divulgación Es la mecánica clasica realmente determinista?

[javier m]

Buenas, hago este hilo basicamente por algo que leí hace unas días: esto

Ahí se afirma que la mecánica clasica no es determinista y se muestra un ejemplo de una bola en un domo, en la que la bolita puede caer en cualquier momento, y el instante en el que cae es completamente impredecible.

A mi me pareciera que hacen una mala interpretación de la primera ley de Newton, pero no estoy seguro. ¿Qué opinan ustedes?

[arivasm]

Re: Es la mecánica clasica realmente determinista?

A mí me suena a más bien a un coqueteo con la teoría del caos: pequeñas variaciones en las condiciones iniciales que pueden conducir a evoluciones radicalmente diferentes (efecto mariposa). En mi humilde opinión, no es lo mismo aleatoriedad que indeterminismo. Los sistemas clásicos están llenos de ejemplos que resultan ser indeterministas en la práctica, en primer lugar por la imposibilidad de conocer con un grado de precisión absoluta las condiciones iniciales. Un paseo por la playa y tratar de predecir cuánto alcanzará en la orilla la siguiente ola es un buen ejemplo, intentar predecir dónde estará un péndulo doble un par de minutos más tarde del instante actual es otro. Ninguno de estos dos ejemplos está sometido a la aleatoriedad.

[visitante20160513]

Re: Es la mecánica clasica realmente determinista?

Pues yo lo veo más bien como un coqueteo con las matemáticas. Hay muchas ecuaciones diferenciales, por no decir todas, que presentan soluciones que luego en los sistemas físicos no se dan. Sin ir más lejos todas las soluciones que presentan discontinuidades. Pondré un sencillo ejemplo para un M.A.S:

$x''=-k^2x$

Esta ecuación siempre presenta la solución $x=0$ para cualquier $t$. Pues bien, siempre podremos construir una solución discontinua que para algunos intervalos de tiempo la solución sea precisamente esa y para otros la solución sea una cualquiera del M.A.S. lo que nos viene a decir que el móvil se movería a saltos desde cualquier posición al origen, podría permanecer en ese punto un determinado intervalo de tiempo y aparecer posteriormente en otro punto cualquiera con la velocidad adecuada para seguir cumpliendo la ecuación diferencial. Esa solución desde luego satisface la ecuación, pero viola cualquier principio de causalidad por no hablar de otras muchas leyes físicas. Pero afirmar que satisface la ecuación no es garantía de que pudiera mostrarse en la realidad. Habría que discutir porqué unas soluciones se presentan y otras no, pero para poder afirmar que hay violaciones del principio de causalidad habría que probar que verdaderamente existen sistemas físicos que se comportan de esta forma. ¿Porqué el mundo físico se comporta de acuerdo a cierto tipo de soluciones (continuas) y no lo hace para otro (discontinuas)? Es una pregunta que ya no es tan fácil de contestar. ¿Es éste quizás un nuevo postulado no explícito de la mecánica newtoniana?


Salu2, Jabato.

[carroza]

Re: Es la mecánica clasica realmente determinista?

Hola.

Creo que es importante en este efecto diferenciar entre "determinista" y "predecible".

Las leyes de la física clásica son deterministas (las de la cuántica también, pero no quiero entrar aqui en esta discusión). No obstante. la evolución de un sistema clasico (excluyendo sistemas integrables, como el oscilador armónico), presenta en general una dependencia muy marcada con las condiciones de contorno. Por ello, a partir de un sistema de tres cuerpos, el futuro, a partir de una cierta escala de tiempos, es, en la práctica, impredecible.

No he captado el argumento de Jabato- ¿Qué solución discontinua podemos construir para la ecuación de un oscilador?

Saludos

[Julián]

Re: Es la mecánica clasica realmente determinista?

En mi opinión cuando se hace una análisis clásico se trata de disminuir la cantidad de variables o de aumentar la determinación siguiendo un modelo obtenido en la observación mediante parámetros conocidos. Es evidente que por más experto en la mecánica newtoniana que seas si traigo un domo grande y una bolita pequeña y la coloco arriba no te podré preguntar para que lado caerá, si es que cae, solamente cuanto tu la ves de lejos, obviando las rugosidades del domo, la no isoinclinación de este, etc.
Ahora siguiendo el modelo, es decir el obtenido mediante la observación de parámetros controlados y conocidos, obtenemos lo que en el estudio se llama situación ideal. Es decir, buscando un domo con las menores rugosidades, con la misma inclinación en cada curva de nivel y con pendiente cero en su cumbre, etc. De esta manera si colocamos la bolita en su parte superior (cumbre) esta no se moverá a menos que actúe una fuerza que le transmita momento y como el domo ideal no tiene rugosidad ni diferentes inclinaciones en su superficie la bolita caerá tal que describirá una linea recta en la superficie del domo, situación que minimiza su acción.
Pero si nos alejamos de un domo y una bolita ideal el análisis se empieza a complicar.

[visitante20160513]

Re: Es la mecánica clasica realmente determinista?

Si aplicamos la mecánica clásica a la bolita o bien a un sencillo bastón puesto en posición vertical, dicha mecánica nos dirá que no se moverán si aceptamos las condiciones ideales del experimento, ni la bolita ni el bastón deben caer, aunque exista una solución de la ecuación diferencial que diga lo contrario. No debemos aceptar dichas soluciones que proceden del modelo matemático y no de la realidad física. Es claro que es imposible realizar un experimento que pueda reproducir las condiciones ideales exigidas y por lo tanto nunca podremos verificar experimentalmente tales resultados. Pero para mi no hay duda de que es determinista. Un objeto másico no puede pasar del estado de reposo al de movimiento sin incrementar su velocidad, y si hay un incremento de la velocidad entonces hay una aceleración y la segunda ley de Newton no deja lugar a dudas al respecto de que debe existir una fuerza que provoque dicho cambio. Es más, si no hay una fuerza no puede haber una aceleración y por lo tanto no puede haber un incremento de la velocidad.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Es la mecánica clasica realmente determinista?

para un M.A.S:

$x''=-k^2x$

Esta ecuación siempre presenta la solución $x=0$ para cualquier $t$. Pues bien, siempre podremos construir una solución discontinua que para algunos intervalos de tiempo la solución sea precisamente esa y para otros la solución sea una cualquiera del M.A.S. lo que nos viene a decir que el móvil se movería a saltos desde cualquier posición al origen, podría permanecer en ese punto un determinado intervalo de tiempo y aparecer posteriormente en otro punto cualquiera con la velocidad adecuada para seguir cumpliendo la ecuación diferencial. Esa solución desde luego satisface la ecuación, pero viola cualquier principio de causalidad por no hablar de otras muchas leyes físicas. Pero afirmar que satisface la ecuación no es garantía de que pudiera mostrarse en la realidad. Habría que discutir porqué unas soluciones se presentan y otras no...

La discontinuidad en la posición y en la velocidad no son admisibles en la mecánica clásica, y el ejemplo que pones tendría ambos problemas. En particular, la discontinuidad de la velocidad de la partícula implica aceleraciones infinitas y entonces que no se satisfaga la ecuación diferencial.

Creo que es importante en este efecto diferenciar entre "determinista" y "predecible".

Tienes toda la razón. Esos son los términos adecuados que debí emplear en mi mensaje anterior: la bola y la cúpula, las olas, el péndulo doble, etc son sistemas deterministas (al menos si el grado de detalle nos permite omitir el enfoque cuántico) pero impredecibles.

[javier m]

Re: Es la mecánica clasica realmente determinista?

Es más, si no hay una fuerza no puede haber una aceleración y por lo tanto no puede haber un incremento de la velocidad.

Bueno, el argumento que dan, es que para $t<T$, $a=0$, como debe ser. Para $t=T$ la aceleración es tambien cero. Es para $t>T$ donde la aceleración no es cero, pero es que para $t>T$ sí hay una fuerza neta. La cuestión es que el movimiento nunca empieza, es decir, no hay ningún instante en el que la particula obtenga aceleración distinta de cero (asumiendo que el tiempo es continuo). Es decir, el conjunto $\{ t: a(t)\neq 0 \}$ no tiene minimo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Es la mecánica clasica realmente determinista?

Bueno, el argumento que dan, es que para $t<T$, $a=0$, como debe ser. Para $t=T$ la aceleración es tambien cero. Es para $t>T$ donde la aceleración no es cero, pero es que para $t>T$ sí hay una fuerza neta. La cuestión es que el movimiento nunca empieza, es decir, no hay ningún instante en el que la particula obtenga aceleración distinta de cero (asumiendo que el tiempo es continuo). Es decir, el conjunto $\{ t: a(t)\neq 0 \}$ no tiene minimo.

Pero tambien dice que $a= \dst\frac{1}{12}(t-T)^2$ y eso es una parabola que tiene un vértice (claramente un mínimo). El problema creo que radica en que, el autor, esta tratando de jugar la teoría del chaos como bien dice arivasm.
Es un sistema mecánico con tres grados de libertad, una constante de movimiento (la cual es la constancia de la enegía), y una ligadura: $h = - \dst \frac{2}{3g } r^{3/2}$ ( aquí hago uso de (-) para darle una dirección mas adecuada al dibujo y para tambien usar el convencionalismo de que hacia abajo es negativo). Tambien se clasifica como un sistema autónomo con las relaciones de los corchetes de Poisson que se preservan al paso del tiempo (donde la persona, que es el autor de este argumento, se la pasa divagando con esta estructura al no especificar las condiciones iniciales), de la otra estructura de la evolución del hamiltoniano si habla en forma indirecta haciendo uso de las leyes de Newton. Ademas cuando es analizado en "phase space" la familia de curvas no se intersectan.

Usando la consevación de la energía: $C = \dst\frac{1}{2 } m {\dot r}^2 + mgh$ aquí la energía potencial maxima es cero (cuando $r=0$), la energía total es cero tambien porque con una energía mayor la bolita podría separase de la superfcie del domo y no se cumpliría que: $r = - \dst\frac{2}{ 3g} r^{3/2}$. Esto quiere decir que cuando $r =0\Rightarrow\dot r =0$ lo cual corresponde al punto $(0,0)$ en "phase space." para los otros puntos se resuelve:
$\dst\frac{1}{2 }{\dot r}^2 = \dst\frac{2}{3} r^{3/2}$ que es consecuencia de lo escrito anteriormente.
Resolviendo...
$\dot r =\dst\frac{2}{ \sqrt{3}} r^{3/4} \Rightarrow$

$\dst\int_{r_o}^r R^{-3/4} dR = \int_T^t\frac{2}{\sqrt{3}} dt$ con $0< r_o <r \Rightarrow$

$\dst\left[4 R^{1/4} \right]_{r_o}^r =\dst\frac{2}{\sqrt{3} }( t-T) \Rightarrow$

$r^{1/4} = \dst\frac{1}{2\sqrt{3} }(t-T) + {r_0}^{1/4}$ para cada $r_o$ le corresponde una función (o curva), la condición $0< r_o < r$ prohibe que: $t<T$ si se hace $r_o=0$ se reduce al absurdo que propone el argumento tratado.... Javier como puedes ver no comparto el argumento-análisis que hace esta persona de problema.

Es claro que si hace un análisis de estabilidad para $r = 0$, este se clasifica como un punto de reposo inestable.

Saludos.

[PedroAAI]

Re: Es la mecánica clasica realmente determinista?

Hola, voy a intentar aportar mi opinión como un simple estudiante de física, así que si no estáis de acuerdo conmigo estaría agradecido que me corrigierais. Es muy posible que diga alguna "burrada".
A partir de las leyes de la mecánica cuántica, en concreto el principio de incertidumbre, es imposible saber la posición y la velocidad de una partícula a la vez, por lo tanto es imposible tratar un problema de forma determinista y sólo tienes una probabilidad de lo que puede ocurrir. Como la mecánica clásica es un límite de la cuántica ésta también será no determinista.

Ahora bien, si suponemos que no conocemos la mecánica cuántica y tratamos un problema de forma puramente clásica estoy de acuerdo con lo que decís algunos, si se puede conocer con precisión infinita las condiciones iniciales de tu problema puedes obtener la solución del mismo. En el caso de la bola encima del domo, cómo este es un punto de equilibrio inestable la bola va estar ahí encima en todo instante hasta que ocurra una mínima perturbación y como dije, si conoces con INFINITA precisión las condiciones de esta perturbación sabrás que trayectoria tendrá la bola.

Un saludo