Secundaria Conservación de la cantidad de movimiento.

[Celso Pozo]

Alguien sería tan amable de ayudarme con este problema, es de la Física de Serway- Faughn:

En la sección 6.2 Supusimos que se puede ignorar la energía cinética de la tierra al considerar la energía de un sistema formado por la tierra y una pelota de masa mb que se deja caer. Verifique esto al escribir una razón entre la energía cinética de la tierra y la de la pelota cuando chocan, luego utilice la conservación de la energía de movimiento para demostrar que:
Gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento.

Pues no tiene mucho: la primera parte es simple conservación del momento lineal (o cantidad de movimiento), contando que ambos cuerpos parten del reposo (y entonces inicialmente es nulo). La segunda es simplemente que $\dst\frac{KE_E}{KE_b}=\frac{\frac{1}{2}m_Ev_E^2}{\frac{1}{2}m_bv_b^2}$, de modo que se substituye la primera relación y listo.

Por cierto que me da la sensación de que has copiado mal el enunciado y donde dices "conservación de la energía de movimiento" debería decir "conservación de la cantidad de movimiento"

[felmon38]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento.

Arivasm, no entiendo como se puede considerar que inicialmente los dos cuerpos están en reposo cuando chocan ¿?

[arivasm]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento.

Entiendo que se trata de dejar caer un cuerpo, partiendo del reposo respecto de la Tierra (es decir, considerando un sistema de referencia en el que ambos cuerpos están en reposo), contra la superficie de la misma: el momento lineal del sistema es nulo en todo instante. Otro punto de vista más general sería que se debe emplear el sistema de referencia del centro de masas (el anterior es un caso particular de éste) para no incluir en las energías cinéticas términos que no sean intrínsecos del sistema formado por ambos cuerpos, es decir, dependientes del sistema de referencia utilizado. De hecho, ninguna de las dos expresiones del enunciado se cumplen en un sistema de referencia que no sea el del centro de masa.

[David Urcuango]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento.

Pues no tiene mucho: la primera parte es simple conservación del momento lineal (o cantidad de movimiento), contando que ambos cuerpos parten del reposo (y entonces inicialmente es nulo). La segunda es simplemente que $\dst\frac{KE_E}{KE_b}=\frac{\frac{1}{2}m_Ev_E^2}{\frac{1}{2}m_bv_b^2}$, de modo que se substituye la primera relación y listo.

Por cierto que me da la sensación de que has copiado mal el enunciado y donde dices "conservación de la energía de movimiento" debería decir "conservación de la cantidad de movimiento"

Efectivamente dice: "luego utilice la conservación de la cantidad de movimiento".

- - - Actualizado - - -

Arivasm, ¿En otras palabras debo demostrar que las dos relaciones que plantea el ejercicio son nulas ?.

[felmon38]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento.

Arivasm:
Ah! Ahora entiendo lo que supone el autor, que al considerar el sistema masa-Tierra el peso es un fuerza interior al sistema por lo que no actúan fuerzas exteriores Y se conservará la cantidad de movimiento del sistema. Pero lo que no considera el autor, creo, es que las velocidades se deben referir a un sistema de referencia inercial y la Tiera ya no se puede considerar como un sistema inercial ya que se trata de un choque catastrófico (estamos suponiendo que a la Tierra se la perturba su movimiento nominal)ya que va a variar el movimiento nominal de la Tierra respecto del Sol.

[David Urcuango]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento.

Arivasm:
Ah! Ahora entiendo lo que supone el autor, que al considerar el sistema masa-Tierra el peso es un fuerza interior al sistema por lo que no actúan fuerzas exteriores Y se conservará la cantidad de movimiento del sistema. Pero lo que no considera el autor, creo, es que las velocidades se deben referir a un sistema de referencia inercial y la Tiera ya no se puede considerar como un sistema inercial ya que se trata de un choque catastrófico (estamos suponiendo que a la Tierra se la perturba su movimiento nominal)ya que va a variar el movimiento nominal de la Tierra respecto del Sol.

Y cómo podría responder a este problema?.

[felmon38]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento.

Considero al sistema definido por la Tierra, en su movimiento nominal respecto del Sol y relativo a este experimento, como un sistema inercial. Al perturbar este moviminto en un cierto instante (aunque muy pequeña el autor quiere considerarla) dejará de comportarse como un sistema inercial y las velocidades deducidas de las ecuaciones dinámicas, a partir de este momento, tienen que estar medidas respecto del sistema inercial nominal. En el instante inicial el sistema de referencia inercial nominal y el sistema de referencia definido por la Tierra coinciden. Suponemos que se suelta la bola en ese instante, por lo que tanto la velocidad de la bola respecto del S.R. nominal como la de la Tierra, son nulas (la Tierra se considera puntual).
El teorema de la cantidad de movimiento lo voy a aplicar, desde ese instante hasta un instante posterior al choque, por lo que las velocidades ya no son respecto de la Tierra, sino respecto del sistema de referencia inercial nominal. Tomando como sistema sobre el que vamos a aplicar las ecuaciones de la Dinámica la bola y la Tierra, el peso es un fuerza interior, por lo que no actúan fuerzas exteriores (la fuerza que ejerce el Sol se considera despreciable para este experimento por la misma razón que cosideramos la Tierra como S.I. en su movimiento nominal).con estas condiciones se cumple la conservacion de la cantidad de movimiento del sistema en el instante inicial y en un instante posterior al choque :

0=m_E.v_E - m_b.vb.

por lo que se cumple la relación entre las energías cinéticas después del choque que se indica en el problema.

Saludos

[arivasm]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento.

Considero al sistema definido por la Tierra, en su movimiento nominal respecto del Sol y relativo a este experimento, como un sistema inercial.

(la fuerza que ejerce el Sol se considera despreciable para este experimento por la misma razón que cosideramos la Tierra como S.I. en su movimiento nominal)

En realidad no es preciso. La idea es que el tiempo que tarda en producirse la caída es despreciable frente al necesario para que las fuerzas exteriores causen cambios significativos en la velocidad del centro de masas del sistema (en este caso formado por la Tierra y el objeto que cae).

En el fondo no es muy diferente de otros ejercicios habituales como el de la granada que estalla en pleno vuelo o la bala que impacta contra un péndulo, etc: el tiempo en que actúa la fuerza interna es demasiado corto como para no poder considerar que el momento lineal se conserva a lo largo del mismo.

(la Tierra se considera puntual).

Esto no es necesario.

[felmon38]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento.

Bueno Arivasm, lo que he expuesto es tal como lo entiendo yo, en donde se pueden cuantificar las aproximaciones.
Respecto de considerar a la Tierra como punto material era simplemente para evitarme especificar que la v_E era la velocidad de centro de masas de la Tierra.
Saludos