2o ciclo Momento angular

[escarabajo]

Buenasss, necesito ayuda urgente!

Tengo parcial mañana, y no logro resolver este problema.

Una esfera de masa m y radio r, de densidad de uniforme está unida a una barra de masa despreciable. La barra pasa por el centro de la esfera, y el vínculo es tal que la esfera gira libremente con velocidad angular $\Omega$ entorno a la barra.
El otro extremo de la barra está articulado en el punto O, que permite el giro libre entorno al eje z y con velocidad angular $w$. El sistema está sometido solamente al peso y la reacción en O.

Adjunto figura.

Calcular el momento angular respecto al punto O y al punto C.

El punto C coincide con el centro de masa, luego solo tengo que hallar el tensor y multiplicar por la velocidad angular.

La velocidad angular sería $\vec{W}=\Omega e_r+kw$

El tensor en el punto c(para cualquier base):

$I$x$M$ donde I=$\displaystyle \frac{2}{5}MR^2$ y M la matriz unitaria.

$L_C=I\Omega e_r+Iwk$

Ahora, no me sale para el otro punto. Se que tengo que utilizar Steiner, pero hay algo en lo que fallo evidentemente, agradezco si alguien me puede comentar la resolución!

Saludos.

[Jordiel]

Re: Momento angular

Hola.
Parece que nadie se anima a resolver el ejercicio, así que voy a romper el hielo. He estado investigando al respecto y no estoy muy seguro de los resultados, por lo que necesito la colaboración de todos para contrastar los cálculos.

En mi opinión, para calcular el mometo angular en C, no tendría en cuenta la velocidad angular [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] porque sólo vamos a averiguar el momento angular por la rotación que provoca [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
Tenemos en C:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Para hallar el momento angular en O utilizo un recurso que se describe en esta página.
El momento angular en O podría resultar de la siguiente manera:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
L_c es el calculado anteriormente. [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es el momento angular que provoca [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] a la masa puntual C:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
No he incluido la masa porque es puntual.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
La dirección que lleva [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] sería la suma vectorial de las velocidades angulares [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Qué opinais? Me he pasado algo por alto?

[Jose D. Escobedo]

Re: Momento angular

La solucion de este problema esta en libro de Analytical Mechanics (seventh edition) by Fowles & Cassiday y su solucion es la siguiente:

$N_{x'} = mgl \sin \theta$
$N_{y'}= 0$
$N_{z'} = 0$

$L_{x'} = I_{x'x'}\omega_{x'} = I \dot \theta$
$L_{y'} = I_{y'y'}\omega_{y'} = I \dot \phi \sin \theta$
$L_{z'} = I_{z'z'}\omega_{z'} = I_s \left(\dot \phi \cos \theta + \dot \psi \right) = I_s S$

$\vec N = \left(\frac{d\vec L}{dt} \right)_{rot} + \vec \omega' X L$

$mgl \sin \theta = I \ddot \theta + I_s S \dot \phi \sin \theta -I \dot \phi^2 \cos \theta \sin \theta$
$0=I \frac{d}{dt}\left( \dot \phi \sin \theta \right) -I_s S \dot \theta + I \dot \theta \dot \phi \cos \theta$
$0=I_s \dot S$

Nota: las coordenadas $\left(x', y', z'\right)$ fueron obtenidas por una rotacion del plano "yz" de un angulo igual a $\theta$.

Para este problema $\dot \psi = \Omega$

$\vec \omega' = \vec \dot \phi + \vec \dot \theta$

$\omega'_{x'} = \dot \theta$
$\omega'_{y'} = \dot \phi \sin \theta$
$\omega'_{z'} = \dot \phi \cos \theta$

[escarabajo]

Re: Momento angular

Hola..

Muchas gracias a ambos.

Tengo que re-ver con tranquilidad el tema, luego comentaré.

Saludos.

[escarabajo]

Re: Momento angular

Hola. Bueno, tratando con este problema de nuevo.

Jordiel, el momento angular respecto a C creo que tiene algún error en tu razonamiento, el resultado que me dan en la solución es distinto, y es el que expuse en mi mensaje. Creo además que se tiene que tener en cuenta esa velocidad angular w.

Para el momento respecto al punto O, si no me equivoco se calcula:

$L_O=M_O\vec{w}$

Donde $M_O$ representa el tensor del sistema en el punto O.

Creo que justamente, lo que estoy calculando mal, es el tensor en el punto O.

Eligiendo una base $\{e_r,e_{\theta},e_{\phi}\}$
($e_{\phi}$ perpendicular al plano k,$e_r$, y $e_{\theta}$ perpendicular a e_r en dicho plano) , por Steiner:

$M_O=M_C+M'_{CO}$

A mi la matriz M' me quedó:

$\begin{pmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{m(L+R)^2}&{0}\\{0}&{0}&{m(L+R)^2}\end{pmatrix}$

Y la velocidad angular, expresada en esta base:

$\vec{w}=\Omega e_r+w\sin \theta e_{\theta}+w\cos \theta e_r$

Pero cuando hago la multiplicación no obtengo la misma solución, ¿el razonamiento está mal?

saludos.

[Jordiel]

Re: Momento angular

Hola. Bueno, tratando con este problema de nuevo.

Jordiel, el momento angular respecto a C creo que tiene algún error en tu razonamiento, el resultado que me dan en la solución es distinto, y es el que expuse en mi mensaje. Creo además que se tiene que tener en cuenta esa velocidad angular w.

Para el momento respecto al punto O, si no me equivoco se calcula:

$L_O=M_O\vec{w}$

Donde $M_O$ representa el tensor del sistema en el punto O.

Creo que justamente, lo que estoy calculando mal, es el tensor en el punto O.

Eligiendo una base $\{e_r,e_{\theta},e_{\phi}\}$
($e_{\phi}$ perpendicular al plano k,$e_r$, y $e_{\theta}$ perpendicular a e_r en dicho plano) , por Steiner:

$M_O=M_C+M'_{CO}$

A mi la matriz M' me quedó:

$\begin{pmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{m(L+R)^2}&{0}\\{0}&{0}&{m(L+R)^2}\end{pmatrix}$

Y la velocidad angular, expresada en esta base:

$\vec{w}=\Omega e_r+w\sin \theta e_{\theta}+w\cos \theta e_r$

Pero cuando hago la multiplicación no obtengo la misma solución, ¿el razonamiento está mal?

saludos.

Hola. Gracias por corregirme y también por tu aportación porque me ha ayudado a entender un poquito mejor el problema.

Pues el momento de inercia me parece que es correcto, considerando que el eje $e_{\phi}$ de la base que tomas sea también perpendicular a $e_r$ (es que no veo el plano k).

Una cosa, para calcular el mometo angular no tenemos en cuenta las fuerzas exteriores,¿no?(es decir, en ausencia de gravedad).

Por último, la velocidad angular total lo obtienes mediante tres sumandos, y se me hace imposible ver el segundo sumando. Si me ayudaras un poquito...

Un saludo cordial

[escarabajo]

Re: Momento angular

Hola Jordiel.

Correcto, el versor $e_{\theta}$ estaría contenido en el plano que generan los versores $k$ y $e_r$, de modo que $e_{\theta}$ sea perpendicular a $e_r$. Finalmente, $e_{\phi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de $e_{\theta}$ con $e_{r}$.

Según lo veo, la velocidad angular de este rígido sería la siguiente:

$\vec{w}=\Omega e_r+wk$

Ahora, como calculo el tensor en la otra base, tengo que descomponer el vector wk en dicha base.

Por lo tanto, proyecto el versor k en las direcciones $e_r$ y $e_{\theta}$

$k=\cos \theta e_r+\sin \theta e_{\theta}$

De ahí es que salen esos sumandos.

Para calcular el momento angular, no se tienen en cuenta no, las fuerzas exteriores. En realidad, el momento angular viene caracterizado por la cinemática del rígido, el movimiento de éste, ahora, cuando querés estudiar cómo cambia el momento angular es donde intervienen los momentos de esas fuerzas. Para esto se aplica la 2da cardinal.

Pero a lo que el momento angular refiere, solo interesa ver cómo es el movimiento desde el punto de vista cinemático.

Espero haber aclarado tus dudas, y bueno, yo supongo que si el tensor está bien calculado, basta multiplicarlo por el vector velocidad angular y listo.

Saludos.

[Jordiel]

Re: Momento angular

[FONT=Verdana]De acuerdo, ya lo voy viendo (al principio creía que no sería capaz). Cuando vi el problema me pareció muy interesante, ya que había que tener en cuenta dos velocidades angulares, y eso no sabía por donde cogerlo, y ahora creo que ya lo entiendo[/FONT]

[FONT=Verdana]Por cierto, me he fijado en el dibujo que la distancia es L desde O hasta C, lo digo porque cuando haces steiner tienes en cuenta L y el radio. Como dices que al principio no te salía la solución...[/FONT]

[escarabajo]

Re: Momento angular

Espectacular!!! entre los dos, salió. Era eso nomás, no sé por qué le sumaba el radio!!!! agggggggggr.

Me preguntabas si había que tener en cuenta las fuerzas exteriores para el cálculo del momento, y te contesté que no. Te propongo a ver si te sale la 2da parte del problema:

Hallar la relación de $\Omega$ y $\omega$ de modo que el movimiento descripto sea posible.

Ahora si tenés que pensar en la dinámica, y aplicar la 2da cardinal.


Saludos.

[Jordiel]

Re: Momento angular

Hola de nuevo. Que bien que hayamos resuelto el problema, pero hay que reconocer que el mérito es todo tuyo

Respecto a lo que me propones, pues he estado estudiando la dinámica del sólido rígido y ahora me manejo un poco mejor en estos temas. Voy a intentar resolver la relación entre las velocidades angulares y me comentas.

Recapitulando, tenemos un cuerpo cuyo movimiento se parece al de una peonza. Este movimiento esta compuesto de uno de precesión [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y uno de rotación propia [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , sin nutación [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
Se tiene que hallar la relación entre el movimiento de precesión y de rotación propia para alcanzar la situación del problema. Mediante la 2ª ecuación cardinal se podrá obtener:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Las derivadas relativas indica que se realiza desde un sistema de ejes móvil. Este sistema es el propuesto anteriormente [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] el cual acompaña el movimiento de la esfera con origen en O, de forma que este sistema observa que la esfera está fija.

En principio se ha dicho que no hay nutación pero el peso de la esfera lo provoca, así que la velocidad angular total es:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y la aceleración angular:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La condición que debe existir para que se pueda producir este movimiento es que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] sea nulo.
Sabiendo que:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] son constantes ([Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] )
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Conclusiones:

$\dot\theta=0$ (no hay movimiento de nutación)
$\dot\Omega=\dfrac{g\tan\theta}{\dot\omega L}-\dot\omega L\cos\theta$

No he tomado el efecto Coriolis ni aceleraciones relativas (aceleraciones observadas desde el nuevo sistema de referencia móvil) para calcular el momento de fuerza en O porque creo que no se producen (el sistema de ejes móvil observa a la esfera fija)


¿Qué te parece?¿Es correcto?

[escarabajo]

Re: Momento angular

Hola.

Bueno, hay algunos problemas, y para eso llamámos a houston(chiste malo).

Sucede que el momento total no es nulo. Fijate que el peso hace un momento respecto al punto O.

$M_p=-Le_r \wedge mgk$

Por otro lado, las velocidades angulares son constantes, y por lo tanto:

$\dot{\theta}=\dot{\Omega}=\dot{\omega}=0$

(Aunque supongo que solo fue una confusión llamarle a la velocidad angular $\dot{\Omega}$, eso seria la aceleración angular)

La velocidad angular del rígido serìa

$\vec{w}=(\Omega+\omega \cos \theta, \omega sin \theta,0)$ (te quedaron cambiados los cosenos y senos si no me equivoco)

Fijate que en el sistema móvil, la derivada relativa es nula, dado que todos las componentes del momento angular son constantes.

Los términos de la derivada del momento angular aparecen debido al giro del sistema.

Viendo como derivaste el vector momento angular, supongo que utilizas la famosa fórmula de derivada de un vector en un sistema que rota respecto a otro:

$\displaystyle \frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{d\vec{A}}{dt}_{rel}+\vec{\omega}\wedge \vec{A}$

Aqui hay que tener cuidado a qué le llamas $\omega$. No me manejo muy bien con esta fórmula, en general yo suelo tener claro que se mueve, que no, y derivar.... pero por lo que tengo entendido el "$\omega$" es la velocidad de angular de un sistema respecto al otro, en este caso, sería:

$\vec{\omega}=\omega k$

Es decir, no hay que confundirla con la velocidad angular del rígido.

Espero que con estos comentarios salga, ¿querés que te de el resultado al que tenés que llegar, para saber cuando "das en el clavo"? O preferis no saberlo ?

En fin, de cualquier manera, a las órdenes.

Saludos.

[Jordiel]

Re: Momento angular

Houston, tenemos un problema!!! Y uno de los gordos!!!

Volviendo al asunto, gracias por corregirme de nuevo, aunque también quiero aclarar que en las notaciones que aplico llamo a los ángulos $\Omega$ , a las velocidades angulares $\dot\Omega$($\dfrac{d\Omega}{dt}$)y a las aceleraciones angulares$\ddot\Omega$($\dfrac{d^2\Omega}{dt^2}$). Lo hacía más que nada para no confundirme con el $\sin\theta$ o $\cos\theta$ que al principio pensaba que era el seno de una velocidad angular cuando es de un ángulo fijo. A partir de ahora expresaré velocidades $\Omega$ y aceleraciones $\dot\Omega$

También tengo en cuenta el momento que ejerce el peso de la esfera en O de forma que el momento resultante en este punto se anule con la que produce la aceleración centrípeta, y aquí es donde al parecer he cometido el fallo (gracias a tu observación sobre la derivada de un vector en un sistema relativo me he dado cuenta)

En definitiva, la fórmula corregida sería:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Como bien indicas, la derivada relativa del momento angular es nulo, y yo también conocía eso pero no sabía donde meter el efecto del peso, ahora sí


Entonces quedaría:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


¿Qué tal ahora?(En el caso de vuelva a errar, ojalá que no, mejor sería que lo resolvieras y me sacaras de dudas)

[escarabajo]

Re: Momento angular

Ahora siiii!!!!!

Problema terminado, felicitaciones :P

Saludos.

[Jordiel]

Re: Momento angular

Estupendo! Si te soy sincero, y aunque suene un poco raro, he disfrutado estudiando cinemática y dinámica del sólido rígido

Hasta otra

[Jose D. Escobedo]

Re: Momento angular

$L_{z'} = I_{z'z'}\omega_{z'} = I_s \left(\dot \phi \cos \theta + \dot \psi \right) = I_s S$


$mgl \sin \theta = I \ddot \theta + I_s S \dot \phi \sin \theta -I \dot \phi^2 \cos \theta \sin \theta$



Para este problema $\dot \psi = \Omega$

la solucion a la que llegaron estaba expuesta desde el post # 3

para el movimiento de precesion uniforme de este solido rigido $\ddot \theta \sim 0 \Rightarrow$

$mgl \sin \theta = I_s(\dot \phi \cos \theta + \Omega) \dot \phi \sin \theta -I\dot \phi^2 \cos \theta sin \theta \Rightarrow$

$\displaystyle \Omega = \frac{mgl +(I-I_s) \dot \phi^2 \cos \theta}{I_s \dot \phi}$
lo mismo que en su post #12