1r ciclo caida con rozamiento

[gaussiano]

mirad, me plantean el problema de la caida de un objeto en un medio con rozamiento proporcional a la velocidad. Planteo la ecuacion de Newton: mg - kv =ma y la resuelvo sacando la expresion de v con el tiempo. Luego, vuelvo a integrar y obtengo como varia el vector de posicion, saliendome una expresion un poco rara pero que parece ser fiable, algo asi como: $r\left(t \right)=(mg/k)(t+(m/k){e}^{-k/m t })+ H- ({m/k})^{2 } g$. Las condiciones iniciales son que se deja caer desde una altura H. Bueno, pues como llego a esa ecuacion en la que no se puede despejar t para saber cuanto tarda en caer, he leido por ahi un metodo basado en residuos, que consiste en que sustituya t por el tiempo que tardaria en caer si fuese caida libre sin rozamiento. Como H es 10m, sustituyo t por 1.428s y me sale un r(t) de unos 17.58m. Los valores de k y m son respectivamente, 0.5kg/s y 0.8kg. Como el tiempo real se supone que ha de ser mayor a esos 1.428 s, pues lo voy aumentando decima a decima, a ver si me sale un residuo negativo, pero nada. Yo creia que conforme aumentase t y se acercase al valor real, que igual esta sobre los 1.7 s, r(t) se iria acercando a 0, o sea, al origen de coordenadas, pero no hay manera. Alguien puede ayudarme?

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Decir que v(t) me sale $v(t)= (mg/k)(1-{e}^{-k/m t})$

[visitante20160513]

Re: caida con rozamiento

La distancia recorrida es:

$d=\displaystyle\int_0^t v(t)dt=mg/k\displaystyle\int_0^t(1-{e}^{-kt/m})dt=mgt/k+m^2g/k^2({e}^{-kt/m}-1)=H$

Para despejar $t$ de esta ecuación lo tienes bastante complicado. Usando métodos aproximados podrías desarrollar la exponencial en serie de potencias y resolver un polinomio de 2º, 3º o incluso 4º grado dependiendo de el grado de aproximación que necesites (con los tres primeros términos del desarrollo de la exponencial llegas a una ecuación de 2º grado facilita) pero el valor exacto no lo vas a poder calcular. La verdad que no veo otra.

Salu2, Jabato.

[gaussiano]

Re: caida con rozamiento

entonces, al menos, coincides en la expresion de r(t), bueno tu pones distancia, ya que no veo H en tu expresion, o sea, la r inicial. Pero que sabes del metodo este de los residuos?

[visitante20160513]

Re: caida con rozamiento

No, no lo conozco, en cualquier caso creo que lo mas efectivo aquí es desarrollar la exponencial, con los tres primeros términos deberías tener una muy buena aproximación y llegas a una ecuación de 2º grado.

Salu2, Jabato.

[felmon38]

Re: caida con rozamiento

Creo que el método numérico más utilizado para encontrar las raices de una función es el de Newton-Raphson. El proceso iterativo se muestra en las imágenes que he sacado de Internet. El éxito de la convergencia depende de la proximidad del valor de tanteo, x₀, con la raíz de la ecuación.












Saludos