Otras carreras Ejercicio sistema de partículas

[elevic]

Saludos a todos.

Agradecería mucho si alguien pudiera echarme una mano con este problema de sistemas de partículas, porque ya he probado todo lo que se me ocurre y no hay manera, no me sale. He probado con las ecuaciones del centro de masas, de la energía y momento cinético para sistemas de partículas, pero siempre me queda alguna expresión que no soy capaz de resolver. Si alguien tiene algún consejo de cómo podría abordarlo, me sería de gran ayuda. Muchas gracias.

[Breogan]

Re: Ejercicio sistema de partículas

Hola:

[ATTACH=CONFIG]9358[/ATTACH]

En principio, y sin haberlo hecho creo que este problema se puede hacer con tres formalismos distintos de la mecánica newtoniana, a saber: Newton, Energía / Momento, y Lagrange.

Como no se que parte de la mecánica newtoniana estas estudiando, en este post no voy a darte ningún aporte concreto; y me parece que lo correcto es que te tomes el trabajo de postear lo que hayas intentado para resolverlo, y de esa forma poder ver donde esta tu error, si lo hubiera.

Por otro lado me parece que en el enunciado hay un error en la condición inicial que te dan: $\dst V_0 < 2 g L$, ya que no es dimensionalmente correcta. Calculo que la correcta es $\dst V_0 ^2 \ll 2 g L$, lo que en definitiva se podrá comprobar a lo largo de la solución del problema.

Suerte

[elevic]

Re: Ejercicio sistema de partículas

Hola:


En principio, y sin haberlo hecho creo que este problema se puede hacer con tres formalismos distintos de la mecánica newtoniana, a saber: Newton, Energía / Momento, y Lagrange.

Como no se que parte de la mecánica newtoniana estas estudiando, en este post no voy a darte ningún aporte concreto; y me parece que lo correcto es que te tomes el trabajo de postear lo que hayas intentado para resolverlo, y de esa forma poder ver donde esta tu error, si lo hubiera.

Por otro lado me parece que en el enunciado hay un error en la condición inicial que te dan: $\dst V_0 < 2 g L$, ya que no es dimensionalmente correcta. Calculo que la correcta es $\dst V_0 ^2 \ll 2 g L$, lo que en definitiva se podrá comprobar a lo largo de la solución del problema.

Suerte

Buenas.

En teoría el problema se debe resolver con el formalismo que llamas de Newton, energía / momento, ya que estoy en primero de grado y aún no he estudiado Lagrange.

Respecto a como lo he intentado, primero me he escrito la cinemática de A : $\vec{OA} = {x}_{a}\hat{\imath} , \vec{{v}_{a}} = \dot{{x}_{a}}\hat{\imath}, y \text{ } \vec{{a}_{a}} = \ddot{{x}_{a}}\hat{\imath}$ Y luego las de B, con respecto a A, en polares: $\vec{AB} = L \vec{{u}_{r}}, \vec{{v}_{b}} = L\dot{\theta}\vec{{u}_{\theta}}, \vec{{a}_{b }} = -{L\dot{\theta}}^{2}\vec{{u}_{r}} + L\ddot{\theta}\vec{{u}_{\theta}}$

Por supuesto, para hallar las ecuaciones de B con respecto al sistema fijo, solo hay que sumar las de A y las de B. Con respecto a las fuerzas, en A:
$\vec{{P}_{a}} = -mg\hat{\jmath}, \vec{{N}_{a}} = {N}_{a}\hat{\jmath}, \vec{{T}_{a}} = T\vec{{u}_{r}}$

Y en B: $\vec{{P}_{b}} = -mg\hat{\jmath} , \vec{{T}_{b}} = -T\vec{{u}_{r}}.$

Una vez teniendo esto, al sustituir en $\vec{F}=m\vec{a}$ queda un sistema de ecuaciones diferenciales que cierra el problema, pero que no soy capaz de resolver, por lo que intento usar las ecuaciones de sistemas de partículas. Al usar $M\frac{\mathrm{d\vec{{V}_{CM}}} }{\mathrm{dt} } = \vec{F}$
soy capaz de hallar que la velocidad del centro de masas se conserva en la dirreción de $i$, y que es $\frac{1}{2}{v}_{o}$ en la dirección de $\hat{\imath}$, pero no soy capaz de hallar nada más. Luego intento usar la ecuación de la energía para sistemas de partículas. Si la estudio con reespecto al sistema fijo, el problema es que la energía cinética de B me queda con una expresión muy complicada, ya que la velocidad es la suma de $L\dot{\theta}\vec{{u}_{\theta}}, \text{ y } \dot{{x}_{a}}\hat{\imath}$, y hay que cambiar uno de base, así que aparecen muchos senos y cosenos. Al estudiar la energía con respecto a un sistema 2 ligado a A la energía cinética es muy sencilla, pero aparecen fuerzas de inercia en B y para calcular su trabajo hay que resolver $\int-m\ddot{{x}_{a}}Lsen(\theta)$, que tampoco soy capaz.

¿Alguna idea? ¡Muchas gracias!

[Breogan]

Re: Ejercicio sistema de partículas

Hola:

Yo no me metería con dos SR de los cuales uno es no inercial, salvo que me lo pidan explicitamente.
No es que no se pueda o sea mucho mas difícil, simplemente por lo que me pasa a mi y que he visto que también le pasa a otras personas, suele inducir a cometer errores en la inclusión de las fuerzas ficticias.

Voy a tratar, dentro de mis limitaciones, de plantear la 1º parte de la solución. Para ello, voy a partir del diagrama de cuerpo libre para ambos cuerpos:

Ecuaciones cuerpo m1:

$\dst \sum_{\forall i} \vec F_i = m_1 \vec a_1$

$$\dst T_1 sen \theta \ \hat i + (N_1 - m_1 g - T_1 cos \theta) \ \hat j = m_1 (\ddot x_1 \ \hat i + \ddot y_1 \ \hat j)$$

Ecuaciones cuerpo m2:

$\dst \sum_{\forall i} \vec F_i = m_2 \vec a_2$

$$\dst - T_2 sen \theta \ \hat i + (T_2 cos \theta - m_2 g ) \ \hat j = m_2 (\ddot x_2 \ \hat i + \ddot y_2 \ \hat j)$$

donde todos los signos ya están explicitados, es decir todos los escalares son positivos (g , T1, T2, etc).

Caben plantear las siguientes condiciones que relacionan las coordenadas de ambos objetos:

$\dst x_2 = x_1 + L sen \theta \quad y \quad y_2 = y_1 - L cos \theta$

donde queda implícitamente planteado una convención para los signos del angulo $\theta$ respecto de la vertical. Derivando sucesivamente las anteriores obtenemos:

$\dst \dot x_2 = \dot x_1 + L cos \theta \ \dot \theta \quad y \quad \dot y_2 = \dot y_1 + L sen \theta \ \dot \theta$

y

$$\dst \ddot x_2 = \ddot x_1 - L sen \theta \ \dot \theta^2 + L cos \theta \ \ddot \theta \quad y \quad \ddot y_2 = \ddot y_1 + L cos \theta \ \dot \theta^2 + L sen \theta \ \ddot \theta$$

Ademas se debe cumplir que:

$$\dst T_1 = T_2 \quad ; \quad \ddot y_1 = \dot y_1 = 0$$

Con las igualdades vectoriales (1) y (2), y las ecuaciones (3) y (4) (dos en cada una), si no me equivoque y son todas independientes entre si, llegas a un sistema de ecuaciones con las siguientes incógnitas:

$\dst (N_1 ; T_1 ; T_2 ; \ddot x_1 ; \ddot y_1 ; \ddot x_2 ; \ddot y_2, \theta ; \dot \theta ; \ddot \theta)$

pudiendo llegar mediante operaciones aritméticas a una ecuación diferencial en $\theta$.

Podes encargarte de eso para luego postear la ED, y ver donde se puede aplicar la simplificación dada en el enunciado para resolverla.
Revisa cada ítem de mi post a ver si se me escapo algún horror.

s.e.u.o.

Suerte

[elevic]

Re: Ejercicio sistema de partículas

Bueno, finalmente, y después de muchos intentos, me ha salido el ejercicio. Muchas gracias.