1r ciclo Sistemas de referencia en rotación

[javirk]

Hola, primero de todo decir que no sé si este hilo debería estar en esta categoría (Mecánica Newtoniana), en caso negativo, agradecería que algún moderador lo cambiara a la categoría correspondiente.

El caso es que tengo un problema con los sistemas de referencia en rotación y yo creo que es porque no entiendo muy bien el fundamento, entonces me pongo a hacer problemas y buff...

Os pongo un problema en concreto a ver si me podéis decir más o menos qué se puede hacer:

La puerta de la figura gira alrededor de sus goznes (eje OZ) con velocidad angular constante $\omega$. Sobre la puerta se mueve una mosca describiendo una trayectoria circular de radio r’ con velocidad constante v’.
El centro de este círculo se encuentra a una distancia R del eje de rotación de la puerta. Calcula la aceleración de la mosca en la posición indicada en la figura. Datos: $\omega$ = 20$\pi$rad/s, R = 20 cm, r’=10 cm, v’= 2$\pi$ cm/s, $\theta$ = 45º.

Tengo claro que O tiene que ser inercial y el O' tiene que ser no inercial y girar con la puerta, pero no sé poner la ecuación de la velocidad con respecto al inercial:
$\vec{v} = \vec{v'}+\omega\wedge \vec{r}$

Un saludo y gracias.

[felmon38]

Re: Sistemas de referencia en rotación

Hola: este problema es de cinemática pura en donde ni los sistemas inerciales ni Newton pintan nada. Puedes resolverlo por Cinematica, utilizando la relación entre las aceleraciones de un punto respecto de distintos sistemas de referencia o por Geometría mediante las matrices de transformación de coordenadas y derivando dos veces respecto del tiempo y respecto del sistema O, el vector posición.
Saludos

[visitante20160513]

Re: Sistemas de referencia en rotación

Vamos a ver, establece el vector de posición de la mosca, en la referencia fija, como suma de varios vectores conocidos y a continuación deriva la expresión que obtengas dos veces. Eso debe de darte necesariamente la aceleración de la mosca en dicho sistema. Por ejemplo las cuatro siguientes proyecciones:

1).- El vector horizontal que va desde O, por la arista inferior de la puerta, hasta la vertical del centro de la circunferencia.
2).- El vector vertical que va desde el punto anterior hasta el centro de la circunferencia.
3).- El vector horizontal que va desde el centro de la circunferencia hasta la vertical de la mosca.
4).- El vector vertical que va desde el punto anterior hasta la mosca.

La suma de estos cuatro vectores coincide con el vector de posición de la mosca en el SR fijo. Halla el valor de cada uno de los cuatro vectores en función del tiempo cosa que es muy fácil, súmalos y deriva dos veces respecto del tiempo. El resultado es la aceleración buscada.


Salu2, Jabato.

[javirk]

Re: Sistemas de referencia en rotación

Hola, gracias a los dos por ayudarme.

Jabato, he hecho lo que pones y he obtenido una solución coherente, así que muchas gracias, ahora ya entiendo un poco mejor cómo hacer estos problemas (pasar de las ecuaciones que me han dado y algunas no entiendo y pensar un poco jajajaj).

Muchas gracias.

[javirk]

Re: Sistemas de referencia en rotación

Y ahora que lo pienso, ¿cómo se cambiaría ese resultado para usar x', y', z'? Lo que yo haría es poner $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en función de $\hat{\imath}'$, $\hat{\jmath}'$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] un poco "a ojo", pero no sé si es del todo correcto.

Un saludo.

[felmon38]

Re: Sistemas de referencia en rotación

En este caso se pueden calcular las coordenadas de la mosca respecto del sistema de referencia definido por la pared en general, directamente:

x=R.cosφ+r'.cosθ.cosφ
y=R.senφ+r'.cosθ.senφ
z=b+r'.senθ

Derivando dos veces respecto del tiempo estas ecuaciones, y particularizando para la posición dada, se obtendrán las componenetes de la aceleración de la mosca respecto de la pared.



Saludos