1r ciclo Barra que desliza

[sater]

Buenas, tengo el siguiente problema:


Los dos primeros apartados los he hecho ya (aunque el segundo mediante el formalismo Lagrangiano) pero para el tercer apartado no hay manera (he probado con momentos respecto de dos puntos, también imponiendo que la velocidad en el eje x del centro de masas pasa a ser constante,... y no consigo nada).
¿Alguna ayudita con el tercer apartado?
Gracias de antemano.

[Breogan]

Re: Barra que desliza

Hola:

Para describir el movimiento de la barra, tenes que haber hallado la evolución temporal de las coordenadas del CM de esta, y del angulo $\theta$ que forma con la pared vertical. Para ayudarte mejor seria conveniente que las postees.

Teniendo estas ecuaciones del movimiento, y por trigonométrica, creo que podes calcular lo que te piden.
P.e. mientras la barra este apoyada en la pared una variación del angulo $\theta$ implica que el CM tiene que tener una velocidad en el eje horizontal por lo menos igual a esta velocidad (dada por trigonométrica por la variación del angulo), nunca puede ser menor. Si la velocidad del CM es mayor, la barra se despega de la pared. Cuanto mas horizontal esta la barra esta velocidad (llamemosla trigonométrica) sera menor, tendiendo a cero, y la velocidad del CM no se ve afectada por rozamiento alguno.

Creo!!!

Suerte

PD: Por favor pone las ecuaciones del movimiento, así no hay que resolverlo todo. Gracias.

Suerte

[sater]

Re: Barra que desliza

Buenas. Aunque he roto antes las hojas en un cabreo tonto, los dos primeros apartados me los se de memorieta ya:
Los momentos de inercia respecto un eje que pasa perpendicularmente a la barra por su CM son (eligiendo un sistema tal que z sea el eje que pasa por el CM y perpendicular al papel, x perpendicular a la barra y contenido en el papel e y en la dirección de la barra) $I_{zz}=I_{xx}=\dfrac{ml^2}{12}$. Respecto a un eje perpendicular a ella y que pase por uno de sus extremos queda $I=\dfrac{ml^2}{3}$

Ahora, si $(x,y)$ son las posiciones del CM, mientras no se despegue $x=\dfrac{l}{2} \sin\theta$ e $y=\dfrac{l}{2} \cos\theta$ tenemos que la lagrangiana queda:

$\mathcal{L}=\dfrac{ml^2}{6}\dot{\theta}^2-mg\dfrac{l}{2} \cos\theta$

de donde las ecuaciones de movimiento nos salen:

$\ddot{\theta}-\dfrac32 \dfrac{g}{l}\sin\theta=0$

(aquí tengo una duda pues no es una ecuación que me esperaría para el ángulo)

También las he resuelto de otra forma que es utilizando que $\tan\theta=\dfrac{x}{y}$

[Breogan]

Re: Barra que desliza

Hola:

Disculpa pero no revise tu formulación de la ecuación del movimiento, espero poder hacerlo mas tarde. Sin embargo el Lagrangiano que planteas es evidente que depende de una sola coordenada $\theta$, debido a la existencia de un vinculo existente entre la pared y la barra.
Esto sera cierto hasta el momento en que la barra se despega de la pared (si es que se despega), y a partir de ese momento toda la formulación ya no sera valida. A partir de dicho momento se deberá plantear una nueva ecuación de Lagrange que no tenga en cuenta el vinculo entre barra y pared, por lo cual pasara a depender de dos coordenadas, si no me equivoco.

Volviendo a tu pregunta original, en que momento se despega la barra de la pared, creo que lo mas sencillo es encararlo por el lado de la reacción de la pared, desde ahora R_x, y la variación de la cantidad de movimiento de la barra en el eje horizontal, desde ahora "x".

En el instante en que la barra se despega de la pared se debe cumplir que:

$\dst R_x = 0$

y por la 2º ley de Newton:

$\dst R_x = \frac{\mathrm{d} p_x}{\mathrm{d} t}$

donde:

$\dst p_x = m_b \ v_x$

v_x: es la velocidad del CM de la barra

Juntando todo resulta que:

$\dst \frac{\mathrm{d} v_x}{\mathrm{d} t} = 0$

Es decir que el instante en que la aceleración del CM de la barra en la dirección horizontal (eje x) se haga nula, sera el momento en que la barra se despega de la pared. A partir de ese momento la velocidad horizontal del CM sera constante, porque no hay fuerzas exteriores aplicadas en esa dirección.

s.e.u.o.

Suerte

[sater]

Re: Barra que desliza

Yo había probado ya dicha condición pero no consigo llegar a nada con ella.

[Breogan]

Re: Barra que desliza

Hola:

En la siguiente pagina:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/so.../escalera1.htm

se encuentra el ejercicio de la escalera resuelto con rozamiento en el plano horizontal. La ED que saque de ahí, pero no verifique, es:



en el caso de tu problema $\dst \mu = 0$, y $\dst I_c = m \ \frac {L^2}{12}$, quedando la anterior se reduce a:

$\dst \left[ \frac 1 {12} \ m \ L^2 + \frac 1 4 \ m \ L^2 \right] \ \ddot \theta = m \ g \ \frac L 2 \ sen \theta$

$\dst \frac 1 3 \ L^2 \ \ddot \theta = g \ \frac L 2 \ sen \theta$

$$\dst \boxed{\ddot \theta = \frac 3 2 \frac g L \ sen \theta}$$

Que creo que coincide con la que indicaste en tu mensaje. Parece ser que dicha ED no tiene una solución sencilla. Trate de resolverla en Wolfram, y da un buen bardo, dejo el link de la solución:

http://www.wolframalpha.com/input/?i...%28x%28t%29%29

Voy a ver si hay algún camino alternativo, donde no sea necesario resolver la ED, aunque lo veo dificil. Mañana sigo.

s.e.u.o.

Suerte

[sater]

Re: Barra que desliza

Buenas de nuevo. Lo interesante no sería la solución, son las condiciones a imponer. En ellas estamos de acuerdo. He encontrado el mismo problema en el foro

http://forum.lawebdefisica.com/threa...rilla+ligadura

voy a revisar ese y ver si saco algo en claro, aunque la solución que se da al final creo que no valdría.
Un saludo

[visitante20160513]

Re: Barra que desliza

La barra en su desplazamiento presenta dos movimientos, uno de traslación y otro de rotación. Mientras la barra está apoyada en la pared su movimiento está perfectamente definido ya que su trayectoria queda fijada por las condiciones geométricas y su velocidad debe responder al teorema de conservación de la energía al no haber rozamientos, es decir que la pérdida de energía potencial que sufre al deslizar debe compensar la suma de las energías cinéticas de traslación y de rotación. Ahora bien con esos datos deberíamos poder calcular la acción de la barra contra la pared y su correspondiente reacción. En el momento en que dicha acción se anule la barra debería separarse de la pared. Así sale seguro aunque por ahora no voy a plantear las ecuaciones, pero no es difícil hacerlo.

Salu2, Jabato.

[felmon38]

Re: Barra que desliza

[FONT=UICTFontTextStyleBody]Hola: Por claridad, intentaré resolver el problema desde el principio.

Por estar el centro instantáneo de rotación donde se cortan las normales en los puntoa de apoyo de la varilla:

v_G = w.l /2 (1)

Aplicando el teorema de la energía cinética:

w²= 3.g.(1-cosθ)/l. (2)

Derivando:

α = 3.g.senθ/(2.l). (3)

(w, α, son las derivadas primera y segunda, respectivamente, de θ. Perdón, no he podido o sabido utilizar hoy Latex)

La condición de despegue de la pared es equivalente a que la componente horizontal de la aceleración de G sea nula, ya que ésta es la condición para que la fuerza horizontal sobre la varilla lo sea. Derivando dos veces la abscisa de G:
[/FONT][FONT=UICTFontTextStyleBody]
x[/FONT]_G = l.senθ/2
[FONT=UICTFontTextStyleBody]
a_G = -l.senθ.w²/2 + l.cosθ.α/2 = 0. (4)
[/FONT][FONT=UICTFontTextStyleBody]
Sustituyendo (2) y (3) en (4) se obtiene el valor del ángulo de despegue:

cosθ = 2/3

Saludos



[/FONT]

[sater]

Re: Barra que desliza

Mil gracias Felmon