Otras carreras Sistema oscilatorio

[j1417]

Hola buenos días alguien podria ayudarme con este ejercicio??



Es una barra de longitud L con una esfera de masa M unida a un resorte de constante K a un angulo B respecto del eje vertical.Hallar la frecuencia del oscilador......ademas queria pedirles si alguno sabe donde puedo buscar ejercicios parecidos donde aparezcan sistemas oscilatorios o con que nombre puedo buscarlos, ya que me tocaron ejercicios como este y no supe plantearlos en el examen.
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[frunciopilato]

Re: Sistema oscilatorio

Buenas! Eh... debo reconocer que el problema está muy chulo.
Lo que tenemos es lo siguiente:



Normalmente cuando vemos este tipo de problemas lo que más rápido nos llega al cerebro es que debemos emplear la ecuación de la dinámica de rotación, aunque también podríamos resolverlo mediante energía. Pero bueno, yo voy a utilizar el primer método que te he comentado.

La dinámica de rotación nos dice que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] M=I$\alpha$ (1)

M: momento de la fuerza
I: momento de inercia
$\alpha$: aceleración angular

Luego lo primero que vamos a hacer es calcular el momento de inercia de la masa puntual, que como no me has indicado el radio de la esfera, doy por hecho que estamos trabajando con un... punto...

Bueno el momento de inercia asociado a una masa puntual es $I=MR^2$ (M: masa total de la ''esfera''); (R: distancia al centro de giro, L); en particular tenemos que:

$Io=ML^2$ (2)

Si ahora, además, tenemos en cuenta una posición cualquiera definida por un determinado desplazamiento angular $\theta$ del péndulo de la figura y trabajamos sobre la ecuación (1):

El momento de inercia respecto de O es: $Mo=-(Mg\sin\theta)L - k(x\sin\theta) (x\cos\theta)=-MgL\sin\theta - kx^2\sin\theta\cos\theta$

Pues eso, como para ángulos pequeños resulta que $\sin\theta\approx\theta$ y que $\cos\theta\approx1$

Por lo que el momento queda reducido a la siguiente expresión: $Mo=-(MgL+kx^2)\theta$; (3) --> (Es un momento recuperador)

Para finalizar sustituyendo (3) y (2) en la ecuación (1):

$-(MgL+kx^2)\theta=I\alpha$;

$-(MgL+kx^2)\theta=ML^2\frac{\mathrm{d^2\theta} }{\mathrm{d}t^2 }$;

$\frac{\mathrm{d^2\theta} }{\mathrm{d}t^2 }+\frac{(MgL+kx^2)}{ML^2}\theta=0$;

$\frac{\mathrm{d^2\theta} }{\mathrm{d}t^2 }+w^2\theta=0$;

Luego para ángulos pequeños resulta que:

La frecuencia de las oscilaciones es: $w=\sqrt{\frac{(MgL+kx^2)}{ML^2}}$

La frecuencia f es: $f=\frac{1}{2pi}\sqrt{\frac{(MgL+kx^2)}{ML^2}}$

PD: Para resolver este mismo problema con una esfera sólida de radio R el procedimiento es el mismo, lo único que tienes que tener presente es que para halla el momento de inercia, ahora, vas a tener que aplicar el teorema de Steiner.

Un saludo!

[j1417]

Re: Sistema oscilatorio

Hey!! recien hoy lo veo, muy clara tu respuesta gracias!!!

- - - Actualizado - - -

Una pregunta.....el momento del peso de la barra M.g.L .... no sería L/2 ya que es una barra homogénea entonces el centro de masa esta en la mitad de la barra ?¿?

[frunciopilato]

Re: Sistema oscilatorio

Hola!

Si te soy sincero no había pensado que me fueras a preguntar sobre el momento de fuerza del peso, más bien creía que no verías el generado por Fres, o sea, el generado por la fuerza presente en el muelle. Pero bueno, te intento explicar:

Cuando miras la imagen de la derecha, que publiqué antes, puedes observar que hay una fuerza, que es la componente en x (situando el sistema de referencia, por así decirlo, ''quebrado'') del peso, creo que no la dibuje (fallo mío), que produce movimiento y que es perpendicular a la ''línea'' (en este caso la barra) que queremos girar, la distancia al origen que yo he elegido es L. Es decir, nosotros sabemos que la componente en x del peso, perpendicular a la barra a girar, que es $mg\sin\theta$, y que está a una distancia del centro de aplicación igual a ''L'' nos da momento de fuerza, y es este el que hay que tener en cuenta a la hora de sumarlo con el que se da debido a la fuerza recuperadora del muelle.

Estamos trabajando con un caso ideal. El centro de masas de la bola inicial ya habiéndola trasladado cierto ángulo está en el centro de la misma, y, como es un punto está a una distancia de L, respecto del origen de referencia que yo he elegido (L+R si fuera esfera sólida rígida; R indicaría radio). No sé si dice lo de homogénea pero eso es para que sepas que la barra a la que está unida la esfera o el punto no se va a doblar, es decir, para que supongas que el péndulo no cuelga a una distancia x respecto a 0, sino a cero metros de 0.

Si la barra tuviera masa, dependiendo del valor de la misma, podría estar en el centro, o podría no darse ese caso. (hablo del centro de masas del conjunto barra-masapuntual);;

Y vuelvo a hacer hincapié, el momento de la fuerza peso, que creo que ya has comprendido que es $-mg\sin\theta$·$L$, sigue siendo ese, pero para angulos pequeños podemos casi afirmar que es $-mgL\theta$.

Un saludo.