1r ciclo Dos partículas en una circunferencia unidas por resorte.

[AntCS]

Buenas tardes, llevo varios días dándole vueltas a este ejercicio y soy incapaz de ver donde he metido la pata:



He procedido de la siguiente forma:

He definido previamente una nueva variable para trabajar más cómodamente:

$\beta = \theta + \phi$

He aplicado el teorema del momento cinético respecto al origen O para el sistema que conforman ambas partículas, aprovechando que el momento de las fuerzas respecto a dicho puto es nulo. Esto me ha llevado, introduciendo las condiciones iniciales, a una relación entre las derivadas primeras de $\beta$ y $\theta$ respecto al tiempo (y por tanto entre $\phi$ y $\theta$).

A continuación he aplicado el teorema de la energía cinética para cada partícula por separado, he introducido nuevamente las condiciones iniciales, y he obtenido que la velocidad de cada partícula depende únicamente del ángulo $\phi$.

Por último, he impuesto $\phi$ = 0, haciendo que las partículas se encuentren, pero las tres ecuaciones que he obtenido son incompatibles. (Una ecuación para el teorema del momento cinético, otra para la energía en A y otra para la energía en B). He repetido el ejercicio varias veces y no encuentro el fallo. Saludos y gracias de antemano.

En cuanto pueda mando un esbozo de los cálculos.

[felmon38]

Re: Dos partículas en una circunferencia unidas por resorte.

Hola:
A ojo, yo diría que esas tres ecuaciones son redundantes en vez de incompatibles. Creo que con la condiciòn de constancia del momento cinético y con el teorema de la energía cinética aplicados al sistema formado por las dos masas y el resorte se puede resolver el problema.
Saludos

[AntCS]

Re: Dos partículas en una circunferencia unidas por resorte.

Buenas, yo también pienso que dichas ecuaciones deberían ser redundantes, pero el caso es que si considero el teorema de la energía cinética aplicado a cada punto por separado obtengo ecuaciones incompatibles. Aquí os muestro los cálculos y las ecuaciones









Quizá el problema sea que no puedo aplicar el teorema de la energía a las partículas por separado? La verdad no encuentro motivo para que esto no se pueda hacer.

[felmon38]

Re: Dos partículas en una circunferencia unidas por resorte.

Perdona Antcs, pero se ve muy mal el documento. Tal como dices que lo has hecho me parece complicado calcular el trabajo realizado por el muelle sobre cada una de las masas. Si aplicas el teorema a las dos masas el trabajo realizado por el rescorte es sencillamente la variación de su energía potencial.
Saludos

[AntCS]

Re: Dos partículas en una circunferencia unidas por resorte.

Intentaré usar el lenguaje matemático por aquí para lo que no se pueda ver en el documento

Si llamamos a $\rho$ la distancia entre ambas partículas,

${\rho}^{2 } = 2{R}^{2 }(1-\cos \phi)$

Lo que nos permite obtener el teorema de la energía cinética para el punto A y B.

Punto A:

$\frac{1}{2 }m{{v}_{A }}^{ 2} + \frac{1}{ 2}k{\rho}^{2} = E$, donde $E$ es una constante cualquiera.

Teniendo en cuenta que:

${{v}_{ A}}^{2 } = \dot{\theta}^2R^2$

$k = \frac{1}{2 }m{{\omega}_{0 }}^{ 2}$

,y las condiciones iniciales del problema, obtenemos el valor de $E$.

$\dot{\theta}^2 = {\omega}_{0 }^2\cos \phi + \frac{1}{ 2}{\omega}_{0 }^2$

Si hacemos lo mismo para B, obtenemos una ecuación similar:

$\dot{\beta}^2 = {\omega}_{0 }^2 \cos \phi - \frac{1}{2 }\omega_0^2$

Junto a la ecuación que resulta del teorema del momento cinético:

$\dot{\theta} + \dot{\beta} = \omega_0$

Pero si nos interesamos en el instante de encuentro, es decir, $\phi = 0$, obtengo una incompatibilidad.

[felmon38]

Re: Dos partículas en una circunferencia unidas por resorte.

AntCS, aplicas mal el teorema de la energía cinética a una partícula, ya que el trabajo del muelle sobre la partícula no es la variación de su energía potencial, que es el trabajo que realiza sobre las dos, sino la integral de la fuerza vector escalarmente por el ds de la partícula, que es la expresión que te decía que me parece complicada.

[AntCS]

Re: Dos partículas en una circunferencia unidas por resorte.

De acuerdo, creo que ya logro entender dónde estaba el problema. Muchas gracias por el interés!