1r ciclo un problema sobre cuerda

[alexandra blanco]

me gustaria que me ayuden con este problemita.

una cuerda de longitud L con estremos fijos es inicialmente jalada una distancia h en un punto que se encuentra a 3/7L de uno de los extremos, y empujada una distancia h en un punto que se encuentra a 3/7L del otro extremo, simultaneamente. hallar el movimiento subsecuente de la cuerda, suponiendo que esta parte del reposo.

[aLFRe]

Re: un problema sobre cuerda

Todo lo que sigue salvo error mio.

Es resolver la ecuación de ondas en una dimensión:
$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$
donde $y(x,t)$ es la elongación de la cuerda
en cada instante de tiempo t ( altura sobre su posición de equilibrio )
con dos condiciones de contorno ( extremos fijos )
$y(0,t)=0$
$y(L,t)=0$
y dos condiciones iniciales la forma inicial de la cuerda, extremos fijos y
$y(\frac{3}{7}L,0)=H$
$y(\frac{4}{7}L,0)=-H$
y que parte del reposo:
$\frac{\partial y}{\partial t}(x,0)=0$

Se hace separación de variables
$y(x,t)=\alpha(x)\beta(t)$
y si llamas $\lambda$ a la constante de separación
te quedan dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
$\frac{d^2 \alpha}{dx^2} +\lambda \alpha = 0$
$\frac{d^2 \beta}{dt^2} +\frac{\lambda}{c^2} \beta = 0$

Las funciones solución de la primera con las condiciones de contorno ( autofunciones )
que, creo que esto ya te lo sabes por tu post sobre la ecuación de Schröedinger, son
$\alpha(x)=\sin (n\frac{\pi}{L}x)$
siendo n un número entero y positivo.
Las soluciones de la segunda aplicando la segunda de las condiciones
iniciales son
$\beta(t)=\cos (nc\frac{\pi}{L}t)$
Observa que la constante de separación resultó ser [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El resultado de tu problema es una serie de funciones
$y(x,t)=\sum_{n=1} a_n (\sin (n\frac{\pi}{L}x))(\cos (nc\frac{\pi}{L}t))$

Para obtener los coeficientes $a_n$ tienes
que usar la primera condición inicial, la forma de la cuerda en t=0...
para t=0 los cosenos se hacen 1 por lo cual tendrías algo así como
$y(x,0)=\sum_{n=1} a_n (\sin (n\frac{\pi}{L}x))$
y esto es una serie de Fourier.
Bueno ahora para calcular los coeficientes habría que
1. expresar de forma analítica la forma de la cuerda en t=0
2. hacer una integral

Luego si saco los resultados los cuelgo por aquí...

Saludos.

[Orly]

Re: un problema sobre cuerda

Deberias encontrar los modos normales y hacer una sumatoria de ellos para saber el movimiento subsecuente de la cuerda. Recuerda que para describir extemos fijos utilizas la función seno(K), y que K debería ser 4npi/L..