1r ciclo Rodadura sin deslizamiento en un plano inclinado

[mcfuenfr]

Hola, llevo un buen rato dándole vueltas a este problema del temario de oposiciones de secundaria y siempre me sale que la aceleración del sistema es 2g/3 en vez de la que ponen en el enunciado (2g/5). Me gustaría pensar que ellos se han confundido (ojalá), pero creo que he tenido que razonar mal algo, posiblemente la relación entre la aceleración según el sistema inercial y según el sistema no inercial ligado al hilo. También me mosquea un poco que den masa y radio de la polea si dicen que no tiene rozamiento y que den el radio del cuerpo 3, que a mi me parece irrelevante. En el adjunto está escaneada la solución que he sacado yo. Si alguien tuviera la amabilidad de echarle una mirada a ver si ve algo raro le quedaría muy agradecido, Saludos.

[visitante20160513]

Re: Rodadura sin deslizamiento en un plano inclinado

¿Has tenido en cuenta que el disco 1 al rodar sin deslizar absorbe una cierta energía en su movimiento de rotación? La resultante será entonces que la variación de la energía potencial del sistema se absorberá por el incremento de la energía de rotación del disco 1 y de la energía cinética de traslación del conjunto. Lo que te permite plantear una ecuación que debe resolver el problema.

Salu2, Jabato.

[felmon38]

Re: Rodadura sin deslizamiento en un plano inclinado

Hola Mc...: Siento que no te pueda aclarar si el resultado correcto es el tuyo o no porque a mí me sale otro que no coincide ni con el tuyo ni con el del solucionario: a₃=6.g/11, siendo a₃ la aceleración de la cuerda extendida. A propósito, piden la aceleración del sistema, pero deberían especificar de qué punto del sistema. Creo que las velocidades de la cuerda extendida y de la del centro del disco 1 son:
v₃=w.2r
V_G= w.r
así que las aceleraciones serán:
a₃=α.2r
a_G=α.r

aunque me parece que a tí no te sale lo mismo. En el reso de las ecuaciones coincidimos.

Saludos

[mcfuenfr]

Re: Rodadura sin deslizamiento en un plano inclinado

Muchas gracias Jabato y Felmon 38 por vuestra ayuda. Al final he hecho el balance de energía como sugería Jabato y he llegado al mismo resultado que Felmon (6g/11). Comparando lo que yo había hecho ayer con lo que comenta Felmon he visto que al plantear la ecuación de la dinámica de rotaciones para el disco 1 había cometido el error de relacionar la aceleración angular del disco con su aceleración lineal según el sistema no inercial solidario con el hilo en vez de la del sistema inercial (que es igual a la anterior pero de sentido contrario). No me terminaba de creer lo que había puesto de que cuando el centro de masas del disco avanza dx un punto del hilo avanza 2 dx, pero veo que es cierto, ya que Felmon también lo usa. Con respecto a la sugerencia de Jabato, resulta mucho más sencillo hacerlo por energías que por las leyes de Newton, aunque parece que siempre que nos piden aceleraciones tenemos la tendencia a no usar las energías. En el link de abajo está la última solución a la que he llegado por si le quereis echar un vistazo. Realmente yo soy incapaz de ver donde puede estar el fallo, pero dado que este resultado coincide con el de Felmon y que se llega a él por dos vías distintas creo que me quedaré con este en lugar del del solucionario. Gracias por vuestra ayuda y un saludo.

https://dl.dropboxusercontent.com/u/...%20energia.pdf

[Breogan]

Re: Rodadura sin deslizamiento en un plano inclinado

Hola:

Creo que también tenes que contemplar la posibilidad que el enunciado este mal redactado o mal traducido del original, y probar también como que en la polea hay rodadura sin deslizamiento, y con este enfoque te faltaría plantear la energía de rotación de la polea (la polea tiene masa y radio y te dan sus valores como dato, por lo cual a priori debería participar su energía cinética en la solución), por lo cual el balance de energía mecánica queda:

$\dst E_M = E_{c1} + E_{c2} + E_{c3} + E_{p1} + E_{p2} + E_{p3} = cte.$

donde $E_{ci}$ es la energía cinética del cuerpo i (rotación y/o traslación donde corresponda), y $E_{pi}$ es la energía potencial del cuerpo i.
Como la energía mecánica para todo el sistema es constante y $E_{p2}$ también es constante, si derivamos la $E_M$ respecto del tiempo queda:

$\dst \frac {d E_M}{dt} = \frac {d E_{c1}}{dt} + \frac {d E_{c2}}{dt} + \frac {d E_{c3}}{dt} + \frac {d E_{p1}}{dt} + \frac {d E_{p3}}{dt} = 0$

Ahora reemplazando las expresiones de las respectivas energías, y teniendo en cuenta las ecuaciones que relacionan las distintas aceleraciones y velocidades, podes llegar al resultado.
Te aclaro que no lo hice completo, así que no se cual es el resultado correcto.

s.e.u.o.

Suerte

PD: Con esta interpretación lo que dice el enunciado "Si despreciamos el rozamiento en la polea....." solo se aplicaría a que en la polea solo se produce rodadura sin deslizamiento, la fuerza de rozamiento no hace trabajo y se puede aplicar la conservación de la energía. Si fuera este el caso el enunciado estaría pobremente escrito (o traducido).

Suerte

[visitante20160513]

Re: Rodadura sin deslizamiento en un plano inclinado

Creo que breogan tiene razón, también debe intervenir la energía de rotación de la polea, y tienes datos suficientes para resolverlo en esa forma, utilizando el teorema de conservación de la energía. Es decir hay dos cuerpos que rotan, y por lo tanto el balance de energías es distinto a como te indiqué aunque la filosofía del problema es la misma puesto que la energía de rotación de ambos cuerpos puede ligarse fácilmente con la energía de traslación del conjunto.

Salu2, Jabato.

[frunciopilato]

Re: Rodadura sin deslizamiento en un plano inclinado

Hola, esto es lo que yo hice:

Como todos sabemos, la aceleración que está ligada al disco 1 (voy a utilizar los términos del ejercicio, luego ''disco 1'' será el de la rampa, también estará la polea 2 y el cuerpo 3, que es el que cuelga) está relacionada con la aceleración angular por la siguiente expresión:

$a$disco$=\alpha r$;

bueno, lo que vamos a hacer es trabajar respecto a un punto, ese punto es el punto intersección entre la recta normal a la rampa y la rampa, gráficamente lo que tenemos y cómo lo tenemos es de la siguiente forma:



Ahora todos los cálculos, como es lógico, hay que hacerlos respecto de 0, luego pasamos a calcular el momento de inercia del disco 1 respecto de 0 y para ello debemos aplicar el teorema de Steiner.

I0=Idisco+m$d^2$;

Realizando los cálculos obtenemos que $I$0$=\frac{mr^2}{2 }+mr^2=\frac{3mr^2}{ 2}$;

Llegados a este punto aplicaremos la ecuación fundamental de la dinámica de rotación al disco 1; tal ecuación es: $\sum_M=I$0 · $\alpha$;
por tanto:

$T$1·$(r+r)-mg\sin\theta$·$r=\frac{3mr^2}{ 2}\frac{a(disco)}{ r}$;

$T$1$-mg\sin\theta$·$\frac{r}{ 2r}=\frac{3}{ 2}m\frac{r}{ 2r}$adisco;

$T$1$-mg\sin\theta$·$\frac{1}{ 2}=\frac{3}{ 2}m\frac{1}{ 2}$adisco;

Además resulta que la aceleración del cuerpo 3 se relaciona con la aceleración del disco de por la siguiente expresión:

$\frac{a(cuerpo)}{ 2r}=\frac{a(disco)}{ r}$;

a(cuerpo)=a;

por lo que:

$a(disco)=\frac{a(cuerpo)r}{ 2r}=\frac{a}{ 2}$;

De esto vamos a conseguir lo que denominaremos expresión uno,

$T$1$-mg\sin\theta$·$\frac{1}{ 2}=\frac{3}{ 2}m\frac{1}{ 4}$a; (1)


Ahora a lo que le vamos a aplicar la ecuación fundamental de la dinámica de rodadura es a la polea 2, luego:

$(T$2$-T$1$)r=\frac{mr^2}{ 2}\frac{a}{ r}$;

Arreglando un poquito la expresión anterior llegamos a dos,

$T$2$-T$1$=\frac{1}{ 2}ma$; (2)

y por ''casi'' último obtenemos la expresión que vamos a llamar tres, la cual conseguimos aplicando las leyes de Newton al cuerpo 3,

$mg-T$2$=ma$; (3)

Ahora sí, por último, cuando sumamos las tres ecuaciones anteriores ocurre algo parecido a la magia: se nos va lo que no nos interesa.

$T$1$-mg\sin\theta\frac{1}{ 2}+T$2$-T$1$+mg-T$2$=\frac{3}{ 2}m\frac{1}{ 4}a+\frac{1}{ 2}ma+ma$

$mg-mg\sin\theta\frac{1}{ 2}=[\frac{3}{ 2}m\frac{1}{ 4}+\frac{1}{ 2}m+m]a$;

$a=\frac{gm(1-\sin\theta\frac{1}{ 2})}{ \frac{3}{ 2}m\frac{1}{ 4}+\frac{1}{ 2}m+m}$;

$a=\frac{g(1-\frac{1}{ 4})}{ \frac{3}{ 2}\frac{1}{ 4}+\frac{1}{ 2}+1}$;

$a=\frac{g(\frac{3}{ 4})}{ \frac{15}{ 8}}$;

$a=\frac{2g}{ 5}$;

un saludo.

[felmon38]

Re: Rodadura sin deslizamiento en un plano inclinado

Muy bien porque has llegado a la solución que dan en el problema, y así ya sabemos como se llega a ella. Creo que deberías incluir el texto del problema, aclarando que supones un rozamiento entre la polea y la cuerda suficiente para que la cuerda no deslice sobre la polea en las condiciones del problema, en contradicción con el texto, que indica que se desprecia el rozamiento en la polea.

[mcfuenfr]

Re: Rodadura sin deslizamiento en un plano inclinado

Muchas gracias a todos por llegar a la solución. Ciertamente, el problema está mal redactado, ya que si no hay rozamiento la polea no puede girar. No se trata de una mala traducción como se apuntó ayer, sino de un problema que fue puesto así en unas oposiciones para profesor de secundaria de física y química. Parece ser que no basta con hacer el problema, sino que también hay que tener en cuenta las imprecisiones que ponen, no sé si deliberadamente, en los enunciados (lamentable..., pero eso no es materia de este foro). En todo caso, además de la resolución del problema os agradezco que me hayais abierto los ojos para saber a lo que tengo que enfrentarme. Y también me había pasado algo similar con otros problemas de la misma colección, así que los volveré a mirar con lupa a ver si consigo sacar los resultados que ponen como solución. Muchas gracias a todos y un saludo.