Moviemiento oscilatorio

[Roose Bolton]

Necesito ayuda con este problema ya que no entiendo bien lo que debo hacer

Para cierto oscilador, la fuerza neta que actua sobre el cuerpo de masa m esta dada por Fx = -c{x}^{ 3}. (a) Que funcion de energia potencial describe este oscilador? (b) El cuerpo semueve de x = 0 a x = A en un cuarto de periodo. Calcule este tiempo y de ahi el periodo.(c) Segun el resultado obtenido en la parte (b), el periodo depende de la amplitud? Son las oscilaciones armonicas simples? Respb) T= \frac{7.41}{A}*\sqrt{\frac{m}{c }}

[arivasm]

Re: Moviemiento oscilatorio

Antes de nada. Para que se vean correctamente las ecuaciones debes encerrarlas entre [TEX] y [/TEX] . También puedes recurrir a seleccionar el texto y pulsar el botón con la palabra "TeX"

Para hacer más visible tu mensaje, lo hago a continuación:

Para cierto oscilador, la fuerza neta que actua sobre el cuerpo de masa m esta dada por $Fx = -c{x}^{ 3}$. (a) Que funcion de energia potencial describe este oscilador? (b) El cuerpo semueve de $x = 0$ a $x = A$ en un cuarto de periodo. Calcule este tiempo y de ahi el periodo.(c) Segun el resultado obtenido en la parte (b), el periodo depende de la amplitud? Son las oscilaciones armonicas simples? Respb) $T= \frac{7.41}{A}*\sqrt{\frac{m}{c }}$

a) Hay que hacer la integral $U=-\int F_x\dd x$ y elegir el cero correspondiente, aunque lógicamente la elección más sencilla corresponde a $x=0$. Obtendrás $U=\frac{1}{4}c x^4$

b) Una salida sería integrar la segunda ley de Newton y tratar de resolver la ecuación diferencial. De todos modos, puesto que se conserva la energía tienes que $\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{4}c x^4=\frac{1}{4}c A^4$, de donde se puede despejar $v$ e integrar entre $t=0$ y $t=\frac{T}{4}$ para el tiempo y entre $x=0$ y $x=A$ para la posición: $\dst \frac{T}{4}=\sqrt{\frac{2m}{c}}\int_0^A \frac{\dd x}{\sqrt{A^4-x^4}}$.

Por supuesto, la integral se las trae, pero siempre la podemos convertir en una adimensional haciendo el cambio de variable $\dst z=\frac{x}{A}$, de manera que $\dst T=4\sqrt{\frac{2m}{c}}\frac{1}{A}\int_0^1 \frac{\dd z}{\sqrt{1-z^4}}$. Esta última integral será cierto valor constante, que podemos llamar B, de manera que $\dst T = \frac{4B}{A}\sqrt{\frac{2m}{c}}$. Si reunimos en una sola constante a $B$ y $4\sqrt{2}$, $J=4\sqrt{2}B$ finalmente resulta que $\dst T = \frac{J}{A}\sqrt{\frac{m}{c}}$

Por lo que se ve, $J$ vale 7,41. A ver si algún compañero del foro encuentra una forma sencilla de llegar a ese valor.

c) Una vez resuelto el apartado anterior, es más que obvio que sí, que el período es inversamente proporcional a la amplitud. Respecto de si las oscilaciones son armónicas, la respuesta ya se puede dar desde el principio: no lo son, toda vez que la fuerza resultante no cumple la ley de Hooke. Otro argumento sería que en un oscilador armónico el período es independiente de la amplitud.