Secundaria Problema Campo gravitatorio

[jorgecc]

Buenas, tengo este problema:
1.- La masa de Júpiter es aproximadamente 2,25 10²⁷ kg y su radio es 7,2 10⁷.
a) ¿Qué peso tendrá en Júpiter un cuerpo cuya masa en la tierra es de 80 kg.
b) ¿Cuál será su masa en Júpiter?
c) Deducir la distancia que separa al Sol de Júpiter sabiendo que el tiempo que tarda Júpiter en dar una vuelta alrededor del sol es 12 veces mayor que el que tarda la tierra y que la distancia de la tierra al sol es 1,5 10¹¹m.

Yo resuelvo el apartado c, que es con el que tengo problemas, con las leyes de Kepler y me sale el resultado correcto que es 7,86 *10⁸ Km, pero tengo un alumno que me dice que se puede resolver con la fórmula del periodo que es T= 2pi (R³/GM)^0,5, pero el resultado no sale, estoy intentado encontrar una razón teórica para demostrarle porqué no se puede usar esa fórmula, ¿Alguien me puede echar un cable?

Muchas gracias!

[The Higgs Particle]

Re: Problema Campo gravitatorio

Es que sí que se puede hacer de la forma que él dice. La de Kepler es la más directa, pues sólo tienes que aplicar: $\frac{{T}^{2}}{{R}^{3} } = cte.$, cumpliéndose para cuerpos que orbitan a un mismo cuerpo que $\frac{{{T}_{1}}^{ 2}}{{{R}_{1}}^{3}} = \frac{{{T}_{1}}^{ 2}}{{{R}_{1}}^{3}} = \frac{{{T}_{n}}^{ 2}}{{{R}_{n}}^{3}}$.

Pero la suya es correcta. Mira:

Tenemos la fórmula $T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$. Aplicado al sistema Tierra - Sol: ${{T}_{TS}}^{2 } = \frac{4 {\pi}^{2} \cdot {{R}_{TS }}^{ 3}}{G{M}_{Sol} }$, de donde podemos sacar: $G{M}_{Sol } = \frac{4 {\pi}^{2} \cdot {{R}_{TS}}^{3}}{{{T}_{TS }}^{2} }$ (I).

Al mismo tiempo, aplicado al sistema Júpiter - Sol: ${{T}_{JS}}^{2} = 4 {\pi}^{ 2} \cdot \frac{{{R}_{JS }}^{3}}{G \cdot {M}_{ Sol} }$ (II).

Sustituyendo (I) en (II):

${{T}_{JS}}^{2} = 4 {\pi}^{ 2} \cdot \frac{{{R}_{JS }}^{3 } \cdot {{T}_{TS }}^{ 2}}{4 {\pi}^{2} \cdot {{R}_{TS }}^{3} } \to {{R}_{JS}}^{3} = \frac{{{T}_{JS }}^{2} \cdot {{R}_{TS}}^{ 3}}{{{T}_{TS }}^{2}}$. Sustityendo los valores que te da el enunciado, ${T}_{JS} = 12 \cdot {T}_{TS }$, tenemos: ${{R}_{JS}}^{3} = 144 \cdot {{R}_{TS}}^{3}$. Pudiendo concluir:

$\boxed{{R}_{ JS} = {R}_{TS} \cdot \sqrt[3]{144}}$

PD.: Este resultado da, aproximadamente, $7,86 \cdot {10}^{11 } m$, tú lo habías expresado en $km$.

Un saludo

[jorgecc]

Re: Problema Campo gravitatorio

Así claro que se puede, pero el simplemente sustituía directamente en la fórmula, poniendo como masa la masa de jupiter, no la del sol y así no sale.

[Visitante]

Re: Problema Campo gravitatorio

$\boxed{{R}_{ JS} = {R}_{TS} \cdot \sqrt[3]{144}}$

PD.: Este resultado da, aproximadamente, $7,86 \cdot {10}^{11 } m$, tú lo habías expresado en $km$.

Un saludo

Hola:
El resultado no sería 789173642km?
Es decir, la distancia de la Tierra al sol es $1,5*{10}^{ 8}km$, pero esa es la distancia, no el radio orbital de la Tierra, por lo que:
${R}_{TS}=1.5*{10}^{8 }+695,8*{10}^{ 3}km$
Entonces la distancia a Júpiter sería:
${{R}_{ JS} = {R}_{TS} \cdot \sqrt[3]{144}}=(1.5*{10}^{8 }+695,8*{10}^{ 3})*\sqrt[3]{144}=789869442 km$
entonces la distancia es:
${D}_{JS}={R}_{ JS}-{R}_{S }=789173642km$

Saludos,
Malevolex

[The Higgs Particle]

Re: Problema Campo gravitatorio

Bueno, en realidad todo son aproximaciones. ¿Qué tomamos como distancia, el perihelio, el afelio? No, se toma una media. Pero lo más importante, en mi opinión, es saber hacerlo, razonar correctamente, aunque los datos nos sean totalmente exactos.

[arivasm]

Re: Problema Campo gravitatorio

El resultado no sería 789173642km?

Ya comenté en alguna ocasión que conviene tomar en consideración las cifras significativas de los datos que se manejan, cuando no ya las incertidumbres que implican los modelos que se usen. Para dar ese resultado con las cifras que indicas, *todos* los datos que uses deberían tener, por tanto, un mínimo de 9 cifras significativas, y me da la sensación de que no ha sido así.

Es decir, la distancia de la Tierra al sol es $1,5*{10}^{ 8}km$, pero esa es la distancia, no el radio orbital de la Tierra, por lo que:
${R}_{TS}=1.5*{10}^{8 }+695,8*{10}^{ 3}km$

Primero, para el exterior a un masa esférica, y Júpiter evidentemente se sitúa en el exterior del Sol, el campo gravitatorio que origina es el mismo que si toda su masa estuviese concentrada en su centro. Por tanto, lo que cuenta es la distancia al centro y no a la superficie. Por tanto, es erróneo sumar el radio del Sol.

En segundo lugar, cuando nos dan un radio orbital nos están dando el radio de una circunferencia, es decir, la distancia al centro de la misma. Esto añade un nueva nueva razón para que sea un error sumarle, en este caso, el radio del Sol.

Aprovecho para comentar, no a Malevolex sino a otra gente que lea el hilo, que también es erróneo sumar el radio del planeta. Cuando se habla de distancias entre cuerpos celestes casi siempre se maneja directamente la distancia entre sus centros y no entre sus superficies (salvo que se indique explícitamente). El motivo es simple: la primera es la útil a la hora de hacer cálculos, mientras que la segunda obligaría a conocer datos adicionales para calcular la otra.

Entonces la distancia a Júpiter sería:
${{R}_{ JS} = {R}_{TS} \cdot \sqrt[3]{144}}=(1.5*{10}^{8 }+695,8*{10}^{ 3})*\sqrt[3]{144}=789869442 km$
entonces la distancia es:
${D}_{JS}={R}_{ JS}-{R}_{S }=789173642km$

Esto es conceptualmente incorrecto, por las razones que ya señalé antes. Además del hecho de que hay incoherencia en la precisión de los resultados: 144 posee tres cifras significativas, $\notcien{1,5}{8}$ tiene dos, luego el resultado no debería darse con más de dos cifras significativas.

Recordemos aquel viejo chiste:
- ¡Qué vienen los indios, qué vienen los indios!
- ¿Cuántos son?
- 8001
- ¿Los contaste?
-No: viene uno delante y aproximadamente 8000 detrás.

Yo resuelvo el apartado c, que es con el que tengo problemas, con las leyes de Kepler y me sale el resultado correcto que es 7,86 *10⁸ Km, pero tengo un alumno que me dice que se puede resolver con la fórmula del periodo que es T= 2pi (R³/GM)^0,5, pero el resultado no sale, estoy intentado encontrar una razón teórica para demostrarle porqué no se puede usar esa fórmula, ¿Alguien me puede echar un cable?

Es que precisamente $\dst T^2 = \frac{4\pi^2}{G M} R^3$ es la tercera ley de Kepler (mejor aún si en lugar del radio orbital $R$, que parece restringir su validez a órbitas circulares, ponemos el semieje mayor de la órbita, $a$). $\dst \frac{4\pi^2}{G M}$ es la constante de proporcionalidad que aparece en la 3ª ley. Evidentemente no formaba parte original del Kepler pues su explicación requiere de la Ley de Gravitación Universal.

Eso sí, la $M$ que aparece en dicha ley es la masa del cuerpo central, siempre y cuando sea despreciable la del planeta o satélite, y no la de este último, como erróneamente suelen emplear los malos estudiantes.

Por cierto, una manera de hacerles ver fácilmente su error es hacerles comprender que la constante de proporcionalidad que aparece en la 3ª ley de Kepler es la misma para todos los planetas, con lo que es absurdo que en ella apareciese la masa de cada uno. La $M$ de $\dst \frac{4\pi^2}{G M}$ es, en el caso Sol-planetas, la masa del Sol.

[Visitante]

Re: Problema Campo gravitatorio

Ya comenté en alguna ocasión que conviene tomar en consideración las cifras significativas de los datos que se manejan, cuando no ya las incertidumbres que implican los modelos que se usen. Para dar ese resultado con las cifras que indicas, *todos* los datos que uses deberían tener, por tanto, un mínimo de 9 cifras significativas, y me da la sensación de que no ha sido así.



Primero, para el exterior a un masa esférica, y Júpiter evidentemente se sitúa en el exterior del Sol, el campo gravitatorio que origina es el mismo que si toda su masa estuviese concentrada en su centro. Por tanto, lo que cuenta es la distancia al centro y no a la superficie. Por tanto, es erróneo sumar el radio del Sol.

En segundo lugar, cuando nos dan un radio orbital nos están dando el radio de una circunferencia, es decir, la distancia al centro de la misma. Esto añade un nueva nueva razón para que sea un error sumarle, en este caso, el radio del Sol.

Aprovecho para comentar, no a Malevolex sino a otra gente que lea el hilo, que también es erróneo sumar el radio del planeta. Cuando se habla de distancias entre cuerpos celestes casi siempre se maneja directamente la distancia entre sus centros y no entre sus superficies (salvo que se indique explícitamente). El motivo es simple: la primera es la útil a la hora de hacer cálculos, mientras que la segunda obligaría a conocer datos adicionales para calcular la otra.



Esto es conceptualmente incorrecto, por las razones que ya señalé antes. Además del hecho de que hay incoherencia en la precisión de los resultados: 144 posee tres cifras significativas, $\notcien{1,5}{8}$ tiene dos, luego el resultado no debería darse con más de dos cifras significativas.

Recordemos aquel viejo chiste:
- ¡Qué vienen los indios, qué vienen los indios!
- ¿Cuántos son?
- 8001
- ¿Los contaste?
-No: viene uno delante y aproximadamente 8000 detrás.

Pues tenía entendido que cuando uno hace referencia a la distancia entre dos cuerpos se refiere a la distancia entre sus superficies. Si en este caso, la distancia es el radio orbital, entonces no habría que estarle sumando el radio del sol ni de cada planeta, pero si no es así, no hay que olvidarse de sumarlos.
Hace un tiempo comentaste las cifras significativas en otro hilo, es un error mío no tenerlo en cuenta.