Primaria Cinemática

[Jorge 2014]

Un policía corre a velocidad constante de 3 m/s. Cuando el ladrón se da cuenta, comienza a acelerar a 1,5 m/s^2 (v₀ = 0). Si inicialmente la distancia del policía al ladrón es 5/3 veces la distancia del ladrón a la moto que usará para escapar, determina si finalmente escapa.

Sé que es muy simple, pero me tiene rayado . Quiero decir, si suponemos que el policia lo atrapa, el espacio recorrido por el policia y el ladron es el mismo (si no, saldría el tiempo negativo, por lo que sabriamos que no lo atrapa). Pero es que con dos incógnitas no sé trabajar:

Llamando $s$ a la distancia ladrón-moto: $S_{policia} = S_{ladron} \to 3t = 5/3 s + 1/2 a t^2$


PD. El esquema sería: MOTO __________ LADRÓN _____________________POLICÍA

[felmon38]

Re: Cinemática

Jorge, el tiempo transcurrido si que es el mismo, el espacio no.

[Jorge 2014]

Re: Cinemática

A ver qué me ha salido:

Tenemos que $s_{ladron} = \frac{1}{2}a{t}^{2}$. Para que el ladrón recorra la distancia $s$ (es decir, para que alcance la moto), necesita $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$.

Al mismo tiempo, $s_{policia} = vt - \frac{5}{3}s$. Y en ese momento (en el cual el ladrón alcanza la moto), su espacio recorrido es:

$s_{policia} = 3 \sqrt{\frac{2s}{a}} - \frac{5}{3}s$. Y la única forma de que lo alcance es que, en ese momento $s_{policia} \geqslant s$ (que sea mayor significa que lo ha atrapado antes de que éste pueda acercarse a la moto).

Por lo tanto, $3 \sqrt{\frac{2s}{a}} - \frac{5}{3}s \geqslant s \to 9 \sqrt{\frac{2s}{a}} -5s \geqslant 3s \to \sqrt{\frac{2s}{a}} \geqslant \frac{8}{9}s \to \frac{2s}{a} \geqslant \frac{64}{81} {s}^{2} \to \frac{64}{81}{s}^{2} - \frac{2s}{a} \leqslant 0$ $\to s \cdot (\frac{64}{81}s - \frac{2}{1,5}) \leqslant 0$. Como $s \neq 0$, tenemos que para que el policía capture al ladrón debe cumplirse que $s \leqslant 1,64 m$

[Al2000]

Re: Cinemática

Un policía corre a velocidad constante de 3 m/s. Cuando el ladrón se da cuenta, comienza a acelerar a 1,5 m/s^2 (v₀ = 0). Si inicialmente la distancia del policía al ladrón es 5/3 veces la distancia del ladrón a la moto que usará para escapar, determina si finalmente escapa.

Sé que es muy simple, pero me tiene rayado . Quiero decir, si suponemos que el policia lo atrapa, el espacio recorrido por el policia y el ladron es el mismo (si no, saldría el tiempo negativo, por lo que sabriamos que no lo atrapa). Pero es que con dos incógnitas no sé trabajar:

Llamando $s$ a la distancia ladrón-moto: $S_{policia} = S_{ladron} \to 3t = 5/3 s + 1/2 a t^2$


PD. El esquema sería: MOTO __________ LADRÓN _____________________POLICÍA

Un poco mas de confianza en ti mismo y habrías resuelto el problema

Pareces confundir distancia recorrida con posición (coordenada). La distancia recorrida por el policía es ciertamente $\dst S_p = v_p t$ pero la distancia recorrida por el ladrón es $\dst S_l = \frac 1 2 a_l t^2$. Tal como escribiste las ecuaciones le estás dando a $S$ el tratamiento de una coordenada, con origen en la posición inicial del policía, lo cual incidentalmente es completamente correcto. Permíteme cambiar la variable a $x$, para reforzar la idea de una coordenada, y escribir las dos ecuaciones como:

$$\left \{\begin{aligned}x_p &= v_p t \\ x_l &= \frac 5 3 s + \frac 1 2 a_l t^2\end{aligned}\right .$$

y plantear la condición de que el policía alcance al ladrón:

$$x_p = x_l \quad \Rightarrow \quad \frac 1 2 a_l t^2 - v_p t + \frac 5 3 s = 0$$

la cual tiene como solución

$$t = \frac {v_p \pm \sqrt {v_p^2 - \frac {10} 3 a_l s}} {a_l}$$

la cual tendrá dos posibles soluciones (el policía alcanza al ladrón/el policía pasa al ladrón y luego el ladrón lo alcanza) con la condición de que $\dst v_p^2 \ge \frac {10} 3 a_l s$ o no tiene solución en caso contrario (el ladrón huye en la moto). Por cierto, a mi me da 1.80 m como distancia límite sobre la cual el ladrón huye.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Jorge 2014]

Re: Cinemática

Acabo de revisarlo, y me sale 1,68 m... es igualmente aceptable?

Entiendo tu forma de razonarlo, pero es correcta también la mía? (exceptuando las confusiones entre s y x)

[Al2000]

Re: Cinemática

De hecho, mi forma de razonarlo no fue correcta, ya que lo que determiné es la distancia máxima para que el policía alcance al ladrón. Es decir, si $s > 1.8 m$, el policía no tiene chance de alcanzar al ladrón (con o sin moto) pero el ladrón se puede haber montado ya en la moto

[Jorge 2014]

Re: Cinemática

¿De dónde te sale el 1,8? Por más que repaso mis cuentas, veo que me sale 1,68..

[Al2000]

Re: Cinemática

Disculpa por no haberte respondido prontamente, pero tuve problemas con mi conexión a internet. Como te había empezado a decir, la conclusión en mi mensaje anterior es incorrecta (o al menos incompleta). De las ecuaciones de movimiento del ladrón y del policía se obtiene que el policía alcanza al ladrón en

$$t_{pl} = \frac {v_p - \sqrt {v_p^2 - \frac {10} 3 a_l s}} {a_l}$$

con la condición de que la respuesta sea un número real, es decir, que

$$v_p^2 - \frac {10} 3 a_l s \ge 0 \quad \Rightarrow \quad s \le \frac 3 {10} \frac {v_p^2}{a_l}$$

Si la distancia inicial del ladrón a la moto es mayor que el valor anterior (1.80 m con los datos dados) el ladrón puede escapar corriendo pues el policía nunca lo alcanzará; si la distancia en menor o igual, el policía puede alcanzar al ladrón... ¿pero lo alcanzará antes de que el ladrón llegue a la moto? Aquí es donde hay que plantear el otro cálculo.

El tiempo que necesita el ladrón para llegar a la moto es

$$t_l = \sqrt {\frac {2 s} {a_l}}$$

y escapará si llega a la moto antes de que lo alcance el policía, o sea, si $t_l < t_{pl}$:

$$\sqrt {\frac {2 s} {a_l}} < \frac {v_p - \sqrt {v_p^2 - \frac {10} 3 a_l s}} {a_l}$$

Lamentablemente borré el archivo donde había hecho los cálculos, pero creo recordar que el resultado era $\dst s > \frac 9 {32} \frac {v_p^2}{a_l}$, que arroja un valor de 1.6875 m.

Saludos,

$\mathcal A \ell$