Otras carreras Péndulo simple

[T_O_N_I]

Hola, tengo dos consultas sobre este tema que es el péndulo simple.
Sé que es un sistema idealizado, pero
- Si se aumenta la masa del péndulo simple, el periodo cambiara??por qué??
- Por qué en la deducción del período de oscilación, se exige que el desplazamiento angular del péndulo sea pequeño?
De antemano se los agradezco.

[The Higgs Particle]

Re: Péndulo simple

Si tenemos el péndulo, como se ve en la imagen, la fuerza que lo empuja hacia el centro es: $F = - mg \cdot sen( \phi )$. Sólo en el caso de que el ángulo sea muy pequeño (aquí respondo a tu segunda pregunta), se cumple que $\phi \approx sen ( \phi )$, de forma que podemos sustituir en la fórmula de arriba, obteniendo $F = - mg \cdot \phi$. Y, al mismo tiempo, vemos que $\phi = \frac{ x}{l }$, por lo que $F = - mg \cdot \frac{x}{ l}$

Por otra parte, de la Ley de Hooke sabemos que $F = - kx$ . Igualando ambas fuerzas, tenemos $- kx = - mg \cdot \frac{x}{l}$, por lo que $k = \frac{mg}{l}$. También sabemos (te pongo esta demostración al final) que $k = m {\omega}^{2}$, por lo que, igualando: ${\omega}^{2 } = \frac{g}{l}$.
Como tenemos que $\omega = \frac{2 \pi}{T}$, sustituimos elevando al cuadrado, por lo que: $\frac{4 {\pi}^{ 2}}{{T}^{2}} = \frac{g}{l}$. Despejamos y llegamos a:

$\boxed{T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}}$

que, como ves, es independiente de la masa.


* $F = m \cdot a$; $F = - kx$. Al mismo tiempo, $a = - x \cdot {\omega}^{2}$, por lo que $m \cdot (-x) \cdot {\omega}^{ 2} = -kx \to k = m \cdot {\omega}^{ 2}$