1r ciclo Ejercicio de polea

[galilea]

[FONT=Lucida Grande]Hola, estoy con el tema de movimientos rotacionales y me han puesto un ejercicio de poleas. El enunciado dice así: por una polea sin masa ni rozamiento pasa un cuerda, sabemos que el movimiento se inicia cuando la longitud del cabo largo es l (es una L minuscula) . Sabiendo que la cuerda de largo mide L y tiene como masa M, calcule:[/FONT]

[FONT=Lucida Grande]a)la velocidad cuando el cabo mide 2L/3 (se refiere al largo)[/FONT]
[FONT=Lucida Grande]b)Encontrar intervalos de l en el que la velocidad existe (Este es el que menos entiendo de todos)[/FONT]
[FONT=Lucida Grande]c)La aceleración de la cuerda en ese instante[/FONT]


[FONT=Lucida Grande]Por favor aun que sea una forma de empezarlo o que deberia utilizar es que no se por donde empezar..[/FONT]
[FONT=Lucida Grande]Muchas gracias!!![/FONT]

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de polea

Lo que entiendo de tu problema es que solo actua sobre la polea el peso de tu cuerda, que tiene longitud $L$ y masa $M$ cuando pende de la polea tienes una longitud de cuerda $l$ de un lado y$L-l$ del otro que pesara mas o menos segun la relacion entre $l$ y $L$

b)Para que exista equilibrio y no haya velocidad( sin aceleracion) cada lado de la polea debe pesar lo mismo o sea $l =\frac L 2$

a)Para resolver el resto debes presupones que la aceleracion no sera constante pues variara cuanto mayor sea la longitud de cuerda sobre uno de los lados

suponte peso especifico lineal de de la soga calculado como $\delta = \frac M L$ para hallar un equilibrio tienes

$g l \delta - g(L-l) \delta =m a = M a$

para hallar v no es correcto hacer $v= a t$ pues $a$ no es constante y debes plantearlo desde la resolucion de una integral con limites $l$ pues es tu punto de partida arbitrario y $2L/3$ tu punto de llegada. tienes que $a$ depende de $l$ y debes hallar $v$ en funcion de $l$ hay hilos en este foro que te pueden servir de ayuda.

c) es concecuencia de lo que dije para a) en el instante en que $l=2L/3$

[galilea]

Re: Ejercicio de polea

Lo que entiendo de tu problema es que solo actua sobre la polea el peso de tu cuerda, que tiene longitud $L$ y masa $M$ cuando pende de la polea tienes una longitud de cuerda $l$ de un lado y$L-l$ del otro que pesara mas o menos segun la relacion entre $l$ y $L$

b)Para que exista equilibrio y no haya velocidad( sin aceleracion) cada lado de la polea debe pesar lo mismo o sea $l =\frac L 2$

a)Para resolver el resto debes presupones que la aceleracion no sera constante pues variara cuanto mayor sea la longitud de cuerda sobre uno de los lados

suponte peso especifico lineal de de la soga calculado como $\delta = \frac M L$ para hallar un equilibrio tienes

$g l \delta - g(L-l) \delta =m a = M a$

para hallar v no es correcto hacer $v= a t$ pues $a$ no es constante y debes plantearlo desde la resolucion de una integral con limites $l$ pues es tu punto de partida arbitrario y $2L/3$ tu punto de llegada. tienes que $a$ depende de $l$ y debes hallar $v$ en funcion de $l$ hay hilos en este foro que te pueden servir de ayuda.

c) es concecuencia de lo que dije para a) en el instante en que $l=2L/3$

A ver el apartado a) lo intente hacer sin integrales con energías pero con integrales como seria mas específicamente porque me he perdido entendí lo que me dijiste de que había que poner como limites de integración l y 2L/3 pero no entiendo que poner en la integral , intente por energías y por fuerzas pero de ninguna de las formas se como enfocarlos por energías intente que como no hay rozamiento se conserva la energía cinética pero no se que energía darle a una parte de la cuerda y a otra y no se si tengo que tener en cuenta la velocidad angular de la polea...

[felmon38]

Re: Ejercicio de polea

Galilea ¿tienes una figura para aclarar el problema?
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de polea

Con energias me diste un punto para ayudarte.

En el instante inicial se debe partir de un desequilibrio osea $l<> \frac L 2$

la energia potencial en ese instante cuando $v=0$ a soltar la soga es

${Ep}_{i } = gM \delta l - gM \delta (L-l)$

Luego en movimiento cuando $l=2L/3$ por conservacion de la energia esta debe ser igual a la potencia mas la cinetica


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Que tendra resultados si $\frac 1 3 L < l < \frac 1 2 L$

entonces$v = \sqrt{\frac{(2l- \frac{2L}{3})gM \delta }{\frac M 2}}$

Aqui estamos despreciando a la polea ya que si tuviera un radio R habia que descontar a la longitud L una distancia $\pi R$ pues las las energias potenciales de la soga hacia ambos lados de la polea mientras la soga hace contacto no influye en el desequilibrio de fuerzas. Como R no es suministrado lo asumo nulo, e igualmente el desequilibrio de fuerzas lo da la diferencia de longitudes $2l-L$

[Breogan]

Re: Ejercicio de polea

Hola:

Richard hay varios errores en tu mensaje , p.e la 1º ecuación de energía no es coherente en las unidades, sobra una M y falta una distancia; después (aunque creo que es un error de transcripción) pones que la energía potencial inicial y la final deben ser iguales (donde claramente se trata de la energía mecánica), la formula final tambien esta mal dimensionalmente, etc.

galilea el punto a, tal como te dijeron, lo podes hacer por energía, para esto definís la densidad de masa por unidad de longitud $\dst \delta = \frac M L$, tomando un SR con origen en el centro de la polea (que suponemos de r=0) y con el semieje y+ hacia arriba, las ecuaciones de la energía potencial y cinética quedan:

$$\dst E_p = m_i \ g \ y_i + m_d \ g \ y_d$$

$$\dst E_c = \frac 1 2 \ m_i \ v_i^2+ \frac 1 2 \ m_d \ v_d^2$$

donde los subindices i y d significan izquierdo y derecho respectivamente. Las coordenadas $y_i \ e \ y_d$ son las coordenadas del centro de masa de cada tramo de cuerda. $v_i \ y \ v_d$ son las velocidades instantaneas de cada elemento de cuerda a izquierda y derecha de la polea.

Ahora escribiremos las relaciones de las variables de la formula anterior respecto de las variables del problema, considerando que el lado izquierdo tiene longitud l:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y nos falta relacionar las velocidades, para eso derivamos la ecuación que liga la longitud de ambos tramos de cuerda, es decir:

$\dst L = l_i + l_d$

$\dst 0 = \frac {d l_i} {dt} + \frac {d l_d} {dt} = v_i + v_d$

de donde se ve que:

$\dst v_i = - v_d \quad \Rightarrow \quad v_i^2 = v_d^2 = v^2$

Ahora reemplazando en las ecuaciones (1) y (2) obtenemos las ecuaciones de las energías en las variables del problema:

$\dst E_p = - \delta \ l \ g \ \frac l 2 - \delta \ (L - l) \ g \ \frac {L - l} 2$

$\dst E_c = \frac 1 2 \ \delta \ l \ v^2+ \frac 1 2 \ \delta \ (L - l) \ v^2 = \frac 1 2 \ \delta \ L \ v^2$

Operando:

$$\dst E_p = - \delta \ g \ \left[ \frac {l^2} 2 + \frac {(L - l)^2} 2 \right]$$

$$\dst E_c = \frac 1 2 \ M \ v^2$$

Ahora te queda plantear la conservacion de la energía mecánica $\dst E_{M0} = E_{Mf}$, o lo que es lo mismo:

$\dst E_{p0} + E_{c0} = E_{pf} + E_{cf}$

pero sabemos que la energía cinética inicial es nula, y teniendo en cuenta la ecuación (4), despejando queda:

$\dst E_{cf} = E_{p0} - E_{pf} = \frac 1 2 \ M \ v^2$

$\dst v = \pm \sqrt{\frac 2 M \left( E_{p0} - E_{pf} \right)}$

Por ultimo tenes que usar la (3) para calcular las energías potenciales inicial y final, teniendo en cuenta que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y vuala ya esta.

s.e.u.o.

Suerte

[galilea]

Re: Ejercicio de polea

Muchas gracias a los dos!! de verdad , pero una preguntilla mas el apartado b) no lo entiendo nada como que los intervalos donde exista la velocidad ¿no existiría la velocidad siempre? es decir, a partir de que empiece un lado de la cuerda a medir mas que otro,¿no? es que como luego el c) lo enlazan con el b) no lo entiendo porque yo hubiera sacado la velocidad y luego derivando pero ahora que veo como se saca la velocidad poco voy a derivar porque no depende del tiempo ¿no?

Aun asi muchas gracias de verdad!

- - - Actualizado - - -

Galilea ¿tienes una figura para aclarar el problema?
Saludos

Que va me lo pusieron asi tal cual y lo intento dibujar pero el enunciado es muy raro y por eso me cuesta entenderlo tanto.. lo siento!

[felmon38]

Re: Ejercicio de polea

Hola galilea: te pedí la figura para ver si entendía el apartado b), después de darle vueltas creo que este apartado puede tener algún sentido si se interpreta que la velocidad v de los apartados b) y c) es la velocidad de la cuerda cuando el cabo es 2L/3 por lo que la respuesta del apartado b) sería que 0<l<2L/3. Creo que para hacer más coherente el enunciado, se debe suponer que la polea tiene un radio R tal que 2.l+π.R= L, porque sino l sería siempre igual a L/2
Para calcular la aceleración tienes que derivar la expresión de la velocidad de la cuerda, tal como indica Breogán, poniendo la longitud del cabo en forma genérica, "y" por ejemplo, y una vez derivada, sustituir el valor de y por 2L/3. Creo.
Saludos