1r ciclo Intento Llegar a una Expresion de la Tension Generada Por Una Cuerda

[M_Odes]

Buenas noches Amigos Foreros:

esta mañana estuve reflexionando, y de repente, se me ocurrio una situación:

Tengo una Cuerda no ideal de longitud $L$ atada por sus dos extremos, además de ello, aplico una Fuerza perpendicular e magnitud $\vec F$ a una distancia $\frac{L}{2}$ tomada desde cualquier extremo, si desprecio el Peso de la cuerda por aplicar una fuerza de magnitudes considerables pero que no rompa la cuerda... ¿puedo expresar la fuerza elastica recuperadora de la cuerda a lo largo del eje de la fuerza $\vec F$ ejercida, como una relacion $F=-kx$ donde $x$ corresponde a el desplazamiento del punto de aplicacion de la cuerda, respecto a su punto de equilibrio?

estube cavilando unos minutos en ello de esta manera:

Imaginen una cuerda vista lateralmente con las condiciones dadas más arriba, ahora bien, la cuerda va a "responder" con una fuerza de tension, algo de cuyo magnitud toma la forma $F_{r}=-2k \Delta L$ dos porque hay dos tensiones mutuamente opuestas en el punto de aplicacion de la Fuerza que espero, cumplan bajo ciertas condiciones la Ley de Hooke.
si analizo el angulo que forma la cuerda desplazada y la vertical $\alpha$, obtendre que $F_{t} = F_{r} \sin {\alpha} = - 2k \Delta L \sin {\alpha}$
la sumatoria de fuerzas me daria :$F - 2k \Delta L \sin {\alpha} = m \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}{x}$
hasta ahora, voy bien? alguna sugerencia o consideracion que yo haya omitido?, Muchas Gracias por sus comentarios, despues termino que ya el sueño no me permite continuar

Saludos!!!

[[Beto]]

Re: Intento Llegar a una Expresion de la Tension Generada Por Una Cuerda

Hola.

Según entiendo quieres calcular es una ecuación que te indique como es que se va deformando (estirando) la cuerda al aplicar la fuerza $F$. En ese caso no tienes que considerar a la constante de elasticidad $k$, si no mas bien tener en cuenta el módulo de Young de la cuerda, y tomar en cuenta que:

$$k=\frac{YA}{L}$$

Donde:

$A$: Área transversal de la cuerda.

$L$: Longitud natural de la cuerda.

Con eso calculas la constante elástica, como ves dependerá de la longitud de la cuerda. Y luego aplicas la segunda ley de Newton así como has hecho.

[M_Odes]

Re: Intento Llegar a una Expresion de la Tension Generada Por Una Cuerda

Agradezco tu comentario, de hecho, para mi k representa lo que me sugueres, es más bien para simplicidad al escribir las ecuaciones... pero mi intento es saber que fuerza recuperadora actua sobre el ente desformador, por ejemplo si la fuerza la aplica una persona con la mano... por eso mencione que mi objetivo es llegar a algo de la forma $F = -kx$ precisamente con el objetivo de saber, dada la desformacion $x$ tomada a lo largo del eje perpendicular al centro de la cuerda, la aceleracion que la cuerda es capaz de causar, imagina una Resortera,( o cauchera, o tira chinas, o mejor un Arco y flecha), más o menos intento a proximarme a describir tal fenomeno de disparo en un Arco.
Agradezco su comentario, y hasta pronto, porque me ha cogido la tarde

[M_Odes]

Re: Intento Llegar a una Expresion de la Tension Generada Por Una Cuerda

Buen Día Amigos:
Si Miran la Imagen "Tensiones" verán un diagrama del cual yo me he valido para hacer el siguiente Análisis:

si la cuerda se estira, (y lo hará) tendremos que pasara de tener una longitud $L$ a una longitud $\Delta {L}$ asumo que la fuerza aplicada $\vec {F}$ es tal que la cuerda está totalmente recta y tensa (como en la figura), y bajo la idea de que en esos momentos el sistema se encuentra en equilibrio estático; La Suma de Fuerzas es la Siguiente:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{3} \vec{F_{i}} = \vec {F} + \vec {T} + \vec {T'} = 0$

suponiendo que la cuerda es isotropica y homogenea, podemos admitir que $T' = T$ y de la imangen,podemos inferir que :

$T_{x} = T sin \alpha$ y $T'_{x} = T' sin \alpha$
además
$\vec {T_{y}} - \vec{T'_{y}} = \vec{0}$

$(\frac{L}{2} + \frac{\Delta L}{2})^2 = \frac{L^2}{4} + x^2$

$sin \alpha = \frac{\frac{L}{2}}{\frac{L}{2} + \frac{\Delta L}{2}} = \frac {\frac{L}{2}}{\sqrt{\frac{L^2}{4}} + x^2}$

Por lo tanto, y admitiendo que cada tension cumple $T=-k \frac{\Delta L}{2}$

$\sum_{}{} F_{x} : F - 2k \Delta \frac{L}{2} sin \alpha = 0$

$F = k \Delta L sin \alpha$

Sabiendo que, como afirma nuestro compañero N30F3B0 $k = \frac{YA}{L}$ donde $Y$ corresponde al Modulo de Young de la Cuerda en cuestion.

Ahora,si yo eliminase la Fuerza $F$ y tubiera un cuerpo de masa $m$ en aquel punto, supongo que experimentara una fuerza
$F_{r} = k \Delta L sin \alpha = m \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}$, solucionando esta ecuación haciendo

$\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$

Tendriamos:

$v \mathrm{d}v = k \Delta L sin \alpha \mathrm{d}x = k \Delta L \frac {\frac{L}{2}}{\sqrt{\frac{L^2}{4}} + x^2} \mathrm{d}x = k \Delta L \frac {L}{ \sqrt{ L^2 + (2x)^2} } \mathrm{d}x = k \Delta L \frac {L}{ \sqrt{ L^{2}( 1 + (\frac {2x}{L})^2} } \mathrm{d}x = k \Delta L \frac {1}{ \sqrt{( 1 + (\frac {2x}{L})^2} } \mathrm{d}x$

reemplazando $\Delta L = L (2 \sqrt{1 +(\frac{2x}{L})^2} - 1)$, y haciendo el correspondiente producto e integrando entre o y v a la izquiera y o y x a la derecha obtenemos que :

$V(x) = \displaystyle \sqrt{2kL(2x- arcsinh(\frac{2x}{L})}$

Bueno, me ha tomado algo de tiempo tipear lo anterior, Espero me corrijan todo lo necesario, y me den su opinion de esta humilde aproximación, adjunto en el archivo "Arco y Youngvar" las curvas crecientes correspondientes a la Velocidad, y las curvas Decrecientes correspondientes a la aceleracion que me ha devuelto un graficador con algunos valores ficticios que me he inventado y que aparecen en las gráficas.

Referencias:
Realmente ninguna, a excepcio de que las graficas fueron hechas en Winplot, un freeware que descargue hace años de la web(es relativamente facil encontarlo), tambien ensaye graficando en GNUPlot,pero no suplia los fines de ilustrar varias graficas ni sus derivadas(las aceleraciones).

Muchas Gracias

M_Odes

[[Beto]]

Re: Intento Llegar a una Expresion de la Tension Generada Por Una Cuerda

Hola, no salió tu dibujo , pero se entiende la idea.

En el eje en el que hay movimiento, haciendo uso de la segunda ley de Newton se debe de llegar a lo siguiente:

$$\sum F=m\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}=F-T\sin\alpha$$

Donde yo haré las siguientes consideraciones:

$F$, es la fuerza con la que se jala y es constante en todo momento.

$T$, es la tensión, en este caso vendría a ser la fuerza elástica que ejerce la cuerda, y esta tiene una magnitud que está dada por

$$T=2k\Delta L$$

(el factor 2 debido a la contribución de cada lado de la cuerda).

Y tomando en cuenta que de la figura:

$$x^2+\left(\frac{L}{2}\right)^2=\left(\frac{L}{2}+\frac{\Delta L}{2}\right)^2$$

De donde:

$$\frac{\Delta L^2}{4}+\frac{\Delta L\cdot L}{2}-x^2=0$$

Se al resolver la ecuación cuadrática y tomar la solución positiva:

$$\Delta L=\sqrt{L^2+4x^2}-L$$

Además como tu mencionas se tiene que:

$$\sin\alpha=\frac{2x}{\sqrt{4x^2+L^2}}$$

Luego reemplazando (2), (5) y (6) en (1), y además teniendo en cuenta que $\frac{d^2x}{\dd t^2}=v\frac{\dd v}{\dd x}$, se llega a que:

$$v\frac{\dd v}{\dd x}=F-2k(\sqrt{L^2+4x^2}-L)\left(\frac{2x}{\sqrt{4x^2+L^2 }}\right)$$

Después simplificando y ordenando se obtiene:

$$v\dd v=\left(F-4kx+\frac{4kxL}{\sqrt{4x^2+L^2}}\right)dx$$

Esta última ya la puedes resolver integrando como hiciste anteriormente.

No es necesario eliminar la fuerza $F$.

Un saludo.