1r ciclo [Solucionado] Desaparición de factor 1/2 en desarrollo para pequeñas oscilaciones alrededor de movimientos estacionarios

[Sabandija]

En la segunda edición del Goldstein, en el capítulo de Ecuaciones de Hamilton, presentan a la función de Routh y dan una ligera introducción al tratamiento de pequeñas oscilaciones alrededor de movimientos estacionarios haciendo uso de la misma. Aproximan la función de Routh por una serie de Taylor hasta los término de segundo grado respecto de las coordenadas y velocidades generalizadas no ignorables.

El término constante y el lineal respecto de las velocidades generalizadas se desechan por no aportar información (se desvanecen al aplicar las ec. de Lagrange a la función de Routh para las coordenadas no cíclicas). Quedando...


Y finalmente aplicando las ecuaciones de Lagrange a la función de Routh, para las coordenadas no cíclicas, se llega "supuestamente" a:



Esta última parte me confunde. ¿Qué paso con los factores 1/2 que multiplicaban a $a_{ij}$ y a $c_{ij}$? Seguramente es algo tonto lo que se me está escapando pero no lo veo. He consultado también los libros "Dinámica de Lagrange" de Dare Wells y "Mecánica" de Keith Symon pero no me han ayudado a aclarar la duda. En el libro de Symon se trabaja directamente con la hamiltoniana en vez de con la función de Routh pero el tratamiento es similar y también desaparecen los factores 1/2.

Desde ya muchas gracias a quien se tome las molestias de leer mi duda y responder.

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Ya me respondí sólo. -Jaja-

Conviene multiplicar la función aproximada de Routh por $2$ y reescribir $g_{ij}$ en la forma:

$2g_{ij}\rho_{i}\frac{\mathrm{d}\rho_{j} }{\mathrm{d}t }=g_{ij}\rho_{i}\frac{\mathrm{d}\rho_{j} }{\mathrm{d}t }+g_{ji}\frac{\mathrm{d}\rho_{i} }{\mathrm{d}t }\rho_{j}$

Y ahí si se ve claro por qué desaparece el 1/2.
Gracias igual.

[gdonoso94]

Re: [Solucionado] Desaparición de factor 1/2 en desarrollo para pequeñas oscilaciones alrededor de movimientos estacionarios

Me alegro de que lo hayas visto. De todos modos, te recomiendo que cuando tengas una duda de estas eches un ojo al Greiner, no me acuerdo exactamente del título entero. Desde mi punto de vista es un libro muy, muy, muy, muy, muy didáctico y muy trabajado, ya que hace todos los desarrollos (me atrevo a decir que es como una traducción del Goldstein)

Saludos.