Secundaria Problema de Selecividad sobre estrellas binarias

[javiabelo]

El enunciado del problma es el que sigue:

Dos estrellas lejanas cuyas masas suman 4 veces la masa del Sol, Ms, se encuentran separadas por una distancia d que es constante. Ambas estrellas describen órbitas circulares alrededor del mismo punto fijo, que se encuentra en la línea imaginaria que las une, debido al campo gravitatorio entre ellas. Calcular la distancia que separa a las dos estrellas sabiendo que ambas órbitas tienen el mismo periodo T. Suponer que conocemos la constante de gravitación universal, G.

Le he dado muchas vueltas y no consigo resolverlo. He probado con las Leyes de Kepler y aplicando la Segunda Ley de Newton pero no lo veo. ¿Me podriais indicar que leyes/teorías debo aplicar en la resolución de este ejercicio?

He leído que se puede resolver utilizando la "masa reducida" y el "centro de masas" pero es un problema de 2ºBachillerato y esos conceptos no entran dentro del temario, ¿se podría resolver de otra forma?

Un saludo.

[Visitante]

Re: Problema de Selecividad sobre estrellas binarias

Una duda, ambas masas suman 4 veces las masa del sol o cada uno tiene 4 veces la masa del sol?

[carroza]

Re: Problema de Selecividad sobre estrellas binarias

He leído que se puede resolver utilizando la "masa reducida" y el "centro de masas" pero es un problema de 2ºBachillerato y esos conceptos no entran dentro del temario, ¿se podría resolver de otra forma?

Un saludo.

¿Centro de masas no entra en el temario de 2º? Cielos....


Bueno, las dos estrellas, de masas M1 y M2, giran en torno a su centro de masas, que está a una distancia d1 = d M2/(M1+M2) de la primera, y d2= d M1/(M1+M2) de la segunda. Iguala, para cualquiera de ellas, la fuerza gravitatoria al producto de su masa por su aceleración centrípeta (expresada en términos del periodo T) y te sale.

Un saludo

[arivasm]

Re: Problema de Selecividad sobre estrellas binarias

Aunque es verdad que "se han tirado un poco de la moto" sí es posible hacerlo con conocimientos de 2º.

Por una parte tenemos que cada estrella está sometida a la fuerza de gravitación que ejerce la otra. De esta manera

$$G\frac{M_1M_2}{d^2}=M_1 r_1 \frac{4\pi^2}{T^2}=M_2 r_2 \frac{4\pi^2}{T^2}$$

Donde $r_i$ es el radio de la órbita de la estrella $i$ y $M_i$ su masa. Por cierto que el que ambas estrellas tengan el mismo período en realidad siempre será así, pero supongo que se ha puesto como "ayuda".

De la segunda igualdad de (1) tenemos que

$$M_1r_1=M_2r_2$$

Por otra parte

$$M_1+M_2=4M_s$$

y

$$r_1+r_2=d$$

Como tenemos cuatro incógnitas necesitamos una ecuación más, que la podemos encontrar a partir la primera igualdad de (1):

$$r_1=\frac{GT^2}{4\pi^2d^2}M_2$$

Ahora debemos resolver el sistema que forman estas cuatro últimas ecuaciones. Podemos empezar deshaciéndonos de $r_2$ usando (2):

$$r_2=\frac{M_1}{M_2}r_1$$

y llevándolo a (4):

$$r_1\left(1+\frac{M_1}{M_2}\right)=d$$

De (3) tenemos que $M_1=4M_s-M_2$. Substituyendo en (7) resulta

$$r_1=d\frac{M_2}{4M_s}$$

Comparando con (5) tenemos que

$$\frac{d}{4M_s}=\frac{GT^2}{4\pi^2d^2}$$

luego

$$d^3=\frac{GM_sT^2}{\pi^2}$$

PD: Veo que carroza contestó mientras escribía mi mensaje. Y no, centro de masas no entra en 2º.

[alexpglez]

Re: Problema de Selecividad sobre estrellas binarias

Hola, Arivasm, la fórmula 1, está sacada de igualar la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta no (ya que dicen que el movimiento es circular)¿?
Y sobre lo del periodo, cómo se demuestra que el periodo debe de ser igual¿?

Sobre el centro de masas es fácil de explicar, simplemente es hacer una "media":

$$\vec R=\frac{\sum_i m_i \vec r_i}{\sum_i m_i}$$

Lo de la masa reducida, es un concepto que viene bien para problemas de varias partículas. Pero creo que el método más rápido es el que dice Arivasm.

Sobre el temario del año que viene.. Les toca ver el problema de los dos cuerpos en profundidad¿? Pienso que conceptos básicos son entendibles, pero para entenderlo bien se necesitan matemáticas que no se ven hasta la carrera, cada vez veo menos lógico el temario. Otra cosa que me dijo mi tutor es que reformaron todo sólo para poder evaluar religión como nota para contar en la media de bachillerato..

yo en su día también di el momento angular, el teorema de Gauss y otras cosas pero ahora creo que ya no es temario de bachillerato

Jeje, si antes se daba cálculo vectorial y más cosas en el instituto debía de estar muy guay. Pff pero dar cálculo vectorial, cuando ya se lían con ejercicios básicos de vectores en clase (o al menos en la mía).

PD: si os digo mi opinión parece que me espiaron buscando en internet divulgación sobre física tanto a nivel divulgativo como a nivel matemático :P

[arivasm]

Re: Problema de Selecividad sobre estrellas binarias

Hola, Arivasm, la fórmula 1, está sacada de igualar la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta no (ya que dicen que el movimiento es circular)¿?

Cierto, aunque yo prefiero expresarlo de esta manera: sobre cada estrella actúa únicamente la fuerza de gravitación que ejerce la otra, por tanto es también la fuerza resultante que actúa sobre ella; de acuerdo con la 2ª ley de Newton es, entonces, igual a masa por aceleración y, al ser un movimiento circular uniforme ésta última es exclusivamente centrípeta.

Y sobre lo del periodo, cómo se demuestra que el periodo debe de ser igual¿?

La demostración más directa pasa por el empleo del sistema de referencia del centro de masas y la masa reducida, es decir, por el problema de dos cuerpos. El segmento que une a ambas estrellas pasa en todo instante por el centro de masas. En consecuencia si una de ellas tarda $T$ en describir su órbita alrededor de dicho centro la otra también tardará lo mismo.

Por cierto que el sistema es equivalente a una única masa de valor la reducida, es decir $\dst\frac{M_1M_2}{M_1+M_2}$ que es atraída por una fuerza igual a $\dst G \frac{M_1M_2}{d^2}$.

No es complicado ver que si la órbita de dicha masa es circular entonces se cumplirá el resultado (10) de mi mensaje anterior: $d^3=\frac{G(M_1+M_2)}{4\pi^2}T^3$.

En general, la masa reducida orbitará alrededor del origen con una órbita kepleriana cuyo período y semieje mayor satisfacen la forma newtoniana de la 3ª ley de Kepler, $a^3=\frac{G(M_1+M_2)}{4\pi^2}T^3$

Al revertir este resultado al caso original, lo que tenemos es que cada estrella describe alrededor de la otra una elipse de semieje mayor $a$, y también que respecto del centro de masa cada una describe una elipse de manera que la suma de los semiejes mayores es $a_1+a_2=a$, con $M_1a_1=M_2a_2$. Por supuesto, cada una de estas elipses se recorren en el mismo tiempo.

Sobre el centro de masas es fácil de explicar, simplemente es hacer una "media":

$$\vec R=\frac{\sum_i m_i \vec r_i}{\sum_i m_i}$$

Sí, pero eso no deja de ser una iniciación muy somera. El centro de masa tiene un significado físico más profundo, relacionado con el momento lineal del sistema y todo aquello que se sigue o relaciona con esta magnitud (por ejemplo, la 2ª ley de Newton).