1r ciclo Conservación de la cantidad de movimiento (Ecuación del cohete)

[daniel32duque]

Mi solución no es equivalente a las que encuentro en internet:

Supongamos que tenemos un sistema cohete-combustible en donde:

M=m+µ;
m es la masa del cohete y el combustible que aun hay adentro
µ es el combustible que ya ha salido expulsado del cohete



Si analizamos el sistema del cohete más el combustible expulsado e ignoramos fuerzas externas entonces el momenum se conserva.


Sea
Pi=MVi Cantidad de movimiento inicial
Pf=mVf + µ(Vf-u) u es la velocidad con la que es expulsado el combustible con respecto al cohete

Si hacemos Pi=Pf y resolvemos para Vf obtenemos el siguiente resultado:

Vf = Vi + (µ*u)/M

Quisiera saber qué estoy haciendo mal durante este proceso para calcular la velocidad del cohete, ya que mi solución no es igual a las que encuentro en internet; el proceso que allí hacen es algo distinto pero no he podido encontrar el error en el mio.

Gracias.

[Richard R Richard]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento (Ecuación del cohete)

Si el cohete acelera no se conserva la cantidad de movimiento.



El procedimiento que puedes usar, como altenativa , se basa en calcular las fuerzas intervinientes, de esas formulas obtienes una aceleración para tu cohete e integrando en el tiempo que tu creas conveniente, obtendras la variacion de velocidad hasta ese instante, si lo pones como condicion inicial que $v=0$ a $t= 0$ obtendras una ecuacion de la velocidad instantanea del cohete.


$-mg=m\dfrac{\dd v}{\dd t} + u \dfrac{\dd m}{\dd t}= m a - u C_m$

donde $m$ es la masa del cohete que va disminuyendo a medida que se consume el combustible
$a$ es la aceleración del cohete con respecto a la superficie de la tierra
$u$ es la velocidad de los gases con respecto al "cohete"
$g$ aceleracion de la gravedad
y $C_m$ Consumo de de combustible por unidad de tiempo, por lo general se lo considera constante.


$a = \dfrac{\dd v}{\dd t} \Rightarrow \Delta v=\int_{t=0}^t a \dd t$

Pero como $m$ tambien es funcion del tiempo y si $C_m$ es constante el tiempo maximo que funciona el cohete $t_m = M_c/C_m$

$M_c$ masa de combustible inicial
$M_h$ masa del cohete sin combustible
masa del cohete inicial$M_i = M_c+M_h$

Entonces La masa del cohete en funcion del tiempo sera $m = M_i- tC_m$

Por ello $\dfrac{\dd m}{\dd t}=- C_m$

Entonces

$\dst \Delta v=\int_{t=0}^{t_m} \dfrac{uC_m-mg}{m}\dd t=\int_{t=0}^{t_m} (\dfrac{uC_m}{m}-g )\dd t=\int_{t=0}^{t_m} (\dfrac{uC_m}{M_i- tC_m}-g )\dd t$

Luego del tiempo $t_m$ el cohete sigue en MUA como tiro parabolico con la velocidad inicial = al resultado de la integral anterior y masa =$M_h$

Si quieres complicar mas los calculos $g$ tambien es funcion de la altura a la que se encuentra el cohete, o bien la supones constante para simplificar.

Ademas tienes que tener en cuenta que habra un tiempo en que el cohete no despega hasta que $a$ supere a $g$

[daniel32duque]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento (Ecuación del cohete)

Si el cohete acelera no se conserva la cantidad de movimiento.



El procedimiento que puedes usar, como altenativa , se basa en calcular las fuerzas intervinientes, de esas formulas obtienes una aceleración para tu cohete e integrando en el tiempo que tu creas conveniente, obtendras la variacion de velocidad hasta ese instante, si lo pones como condicion inicial que $v=0$ a $t= 0$ obtendras una ecuacion de la velocidad instantanea del cohete.


$-mg=m\dfrac{\dd v}{\dd t} + u \dfrac{\dd m}{\dd t}= m a - u C_m$

donde $m$ es la masa del cohete que va disminuyendo a medida que se consume el combustible
$a$ es la aceleración del cohete con respecto a la superficie de la tierra
$u$ es la velocidad de los gases con respecto al "cohete"
$g$ aceleracion de la gravedad
y $C_m$ Consumo de de combustible por unidad de tiempo, por lo general se lo considera constante.


$a = \dfrac{\dd v}{\dd t} \Rightarrow \Delta v=\int_{t=0}^t a \dd t$

Pero como $m$ tambien es funcion del tiempo y si $C_m$ es constante el tiempo maximo que funciona el cohete $t_m = M_c/C_m$

$M_c$ masa de combustible inicial
$M_h$ masa del cohete sin combustible
masa del cohete inicial$M_i = M_c+M_h$

Entonces La masa del cohete en funcion del tiempo sera $m = M_i- tC_m$

Por ello $\dfrac{\dd m}{\dd t}=- C_m$

Entonces

$\dst \Delta v=\int_{t=0}^{t_m} \dfrac{uC_m-mg}{m}\dd t=\int_{t=0}^{t_m} (\dfrac{uC_m}{m}-g )\dd t=\int_{t=0}^{t_m} (\dfrac{uC_m}{M_i- tC_m}-g )\dd t$

Luego del tiempo $t_m$ el cohete sigue en MUA como tiro parabolico con la velocidad inicial = al resultado de la integral anterior y masa =$M_h$

Si quieres complicar mas los calculos $g$ tambien es funcion de la altura a la que se encuentra el cohete, o bien la supones constante para simplificar.

Ademas tienes que tener en cuenta que habra un tiempo en que el cohete no despega hasta que $a$ supere a $g$

Muchas gracias por tu respuesta pero en el problema que tengo estoy asumiendo que todas las fuerzas externas al sistema, incluyendo el peso del cohete hacia la tierra son nulas; además supongo que el cohete ya tiene una velocidad inicial antes de empezar a gastar el combustible (supongamos que el cohete con el combustible son los unicos objetos en el universo y ya se encuentran en movimiento).

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/di...e1/cohete1.htm
No sé si te sirva de algo pero adjunto una de las muchas paginas con el problema que quiero solucionar pero varían un poco el método y el resultado es distinto al mio.

La diferencia es que yo creo que desde que planteo la conservación de la cantidad de movimiento ya puedo despejar la velocidad del cohete, sin embargo veo que en todas partes resuelven la ecuación diferencial al realizar el limite cuando el delta de tiempo tiene a cero en el cambio de la cantidad de movimiento.

En lugar de proponerme soluciones alternativas quisiera que me ayuden a identificar el error en la solución que estoy planteando ya que no quiero seguir cometiendolo en el futuro.

Muchas gracias.

- - - Actualizado - - -

Si el cohete acelera no se conserva la cantidad de movimiento.

Además esto no es del todo cierto, depende del sistema que se esté considerando.

Para que la cantidad de movimiento se conserve no estoy considerando únicamente el cohete sino también el combustible expulsado, así la fuerza que acelera al cohete será interna al sistema y la cantidad de movimiento se conservará.

[Richard R Richard]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento (Ecuación del cohete)

Si no consideras la atraccion terrestre , osea estas en el espacio exterior, no importa la velocidad inicial, mientras no quiera hacer calculos a velocidades relativistas. El procedimiento es el mismo pero g=0 osea no la tienes en cuenta y llegas a la misma integral

Imagina que en vez de expulsar gas lanza una bola de la misma masa a la misma velocidad por segundo, debes resolver 2 ecuaciones una la de conservacion de la cantidad de movimiento y otra de la conservacion de la energia, pero en cada segundo la masa de tu cohete se hace mas pequeña. y tu velocidad mas grande debido a que metes mas energia en juego la potencial del combustible que se convierte en energia cinetica impulsando el coehete y los gases, la cantidad de movimiento no se conserva.

En mi opinion si no incorporas esa energia al calculo, no creo que puedas concluir, con las formulas como las llevas en determinar la velocidad en cada instante.


Saludos

[skynet]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento (Ecuación del cohete)

Si el cohete acelera no se conserva la cantidad de movimiento.

Richard, como no hay fuerzas exteriores la cantidad de movimiento del sistema cohete+combustible+gases sí se conserva.....el que el cohete acelere no evita esto.

Daniel, el error que cometes es considerar que la velocidad final del combustible es la misma para todo el combustible, en realidad conforme el cohete va acelerando la velocidad de los gases va variando, esta será v-u, donde v es la velocidad del cohete en cada instante y u la velocidad de expulsión de los gases respecto al cohete.... para calcular la variación de la cantidad de movimiento del combustible debes de dividir la masa del combustible en infinitas diferenciales de masa, calcular su variación de cantidad de movimiento e integrar para toda la masa de combustible

en el propio link que has dejado te están diciendo lo mismo: "Como la velocidad de los gases respecto del observador terrestre no es constante es necesario calcular una integral para obtener el momento total de los gases expulsados"

si llamas m a la masa total del cohete+combustible en un instante , dm a la masa expulsada durante un periodo de tiempo infinitesimal, siendo dv el incremento de velocidad que se produce en el cohete y u la velocidad de salida de gases respecto al cohete, puedes aplicar la conservación de la cantidad de movimiento:

$mdv+udm=0$

de donde $dv=-udm/m$

de aquí puedes integrar la velocidad del cohete en cada instante (lo tienes resuelto en el link)

[Richard R Richard]

Re: Conservación de la cantidad de movimiento (Ecuación del cohete)

Me daba cuenta que la velocidad de los gases no iba a ser constante con respecto a un observador fijo, pero no sabia como explicarlo sin incluir fuerzas. Por eso pense que no se conservaba el momento erroneamente , perdon.

La ecuacion $\dst\Delta v=\int_{t=0}^{t_m} (\dfrac{uC_m}{M_i- tC_m}-g )\dd t$

si $g=0$ y $\dfrac{\dd m}{\dd t}=- C_m$

Puedes transformarla en

$\dst\Delta v=\int_{t=0}^{t_m} (\dfrac{-u\dfrac{\dd m}{\dd t}}{M_i- tC_m})\dd t=\int_{M_i}^{M_h} (\dfrac{-u}{m})\dd m<br />$
Este ultimo termino es el que resultara de hacer integral a ambos lados de

dv=-udm/m