Olimpiada Dudas con un problema de gravitación

[Visitante]

Hola,
He estado tratando de resolver este problema de las olimpiadas (fase local):
http://pendientedemigracion.ucm.es/i...07/local1.html
El documento es el de Canarias, universidad de La Laguna 2006. El problema es el primero de todos (problema 1), no el resto. La duda que tengo es que no entiendo el apartado 2, es decir, ¿cómo va a ser la densidad el doble? La densidad es la misma en todas partes...
También me gustaría comprobar si el apartado 1 lo tengo bien. Adjunto imagen porque el procedimiento es un poco largo:

El apartado 3 esta tirado.
El resto de problemas trataré de hacerlos cuando tenga tiempo, y dependiendo de cómo me salga plantearé aquí mis respectivas dudas.

[Richard R Richard]

Re: Dudas con un problema de gravitación

Que tal esto

Si lo quieres en latex dame tiempo... la segunda parte la estoy haciendo pero aun no llego a nada presentable.

Edito en la primera parte hemos supuesto de $\rho$ es constante por ello la podemos despejar.

En esta segunda la debes suponer variable, en funcion del radio.

Por ejemplo Si siguiese una variacion lineal con el radio debería seguir una ley parecida a lo siguiente

$$\rho_{(r)}=\rho_{max}-\dfrac rR (\rho_{max}-\rho_{sup})$$

o

$$\rho_{(h)}=\rho_{max}-\dfrac {R-h}{R} (\rho_{max}-\rho_{sup})$$

Si supones que

$\rho_{(h_o)}=2\rho_{(0)}=2\rho_{sup}$

Llego a que $\dfrac{\rho_{max}}{\rho_{sup}}=\dfrac {R+h_o}{h_o}$

Donde $\rho_{max}$=densidad en el centro de de la tierra

como veras no me logro independizar de este valor, cuando defines $h_o$ queda definido $\rho_{max}$ ojo este valor de h es el que hace duplicar a la densidad

luego con este valor armas la funcion (1) o (2)


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que por supuesto cuando $h=0$ deberia suceder que $\rho_{(0)}=\rho_{sup}$
y cuando $h=h_o$ deberia suceder que $\rho_{(h_o)}=2\rho_{sup}$

[Visitante]

Re: Dudas con un problema de gravitación

Entonces el apartado 1 lo tengo bien aunque tengo una expresión más simplificada:
$p=\dst\frac{3\pi {(\sqrt{\frac{1}{ R-h}}-\sqrt{\frac{1}{ R}})}^{ 2}l}{G{\Delta t}^{2 } }$
No entiendo por qué no simplificas tu expresión.
Ahora hago el apartado 2.

[Richard R Richard]

Re: Dudas con un problema de gravitación



Para el segundo punto yo hice la suposición de función lineal que es la mas fácil, pero nada te impide hacer otra que cumpla las condiciones

en $h=0 \mapsto f(0)=\rho_{superficie}$
en $h=R \mapsto f(R)=\rho_{maximo}$ o incluso infinito pues lo "acepta" la mecánica newtoniana en su potencial gravitatorio.
en $h=h_o \mapsto f(h_o)=2 \cdot \rho_{superficie}$

Luego consiste en expresar la función $f (h)$ como una $f(h,h_o,R)$

[Visitante]

Re: Dudas con un problema de gravitación

He tratado de hacer el apartado 2 pero me sigo confundiendo, lo que quieren es que considere la densidad variable y que bajo una altura es el doble de la densidad que hay desde la superficie hasta una profundidad h. Lo que no entiendo es por qué hallas la densidad del centro de la Tierra (Aunque eso no debería ser 0?) si la que piden es hasta una profundidad h. ¿puedes definir qué es cada símbolo al principio? y ¿Cómo llegas a la expresión que te da la ley en función de r?
Yo he hecho esto pero no estoy seguro:
${p}_{sup }$ es la densidad de la Tierra en la superficie terrestre.
La densidad bajo una altura h (${p}_{h }$) será:
${p}_{h }=\dst\frac{M}{\frac{4}{3 }\pi {(R+h)}^{3 } }$
y la densidad desde la superficie hasta una profundidad h (${p}_{-h })$será:
${p}_{-h }=\dst\frac{m}{\frac{4}{ 3}\pi {R}^{ 3}-\frac{4}{ 3}\pi{(R-h)}^{3 }}$
Donde m es la masa que hay desde la superficie hasta una profundidad h.
y suponemos que:
${p}_{h }=2{p}_{-h }$
Mi duda es ¿Estoy bien encaminado?
Repito, no estoy seguro del procedimiento que he seguido.

[Richard R Richard]

Re: Dudas con un problema de gravitación

He tratado de hacer el apartado 2 pero me sigo confundiendo, lo que quieren es que considere la densidad variable y que bajo una altura es el doble de la densidad que hay desde la superficie hasta una profundidad h.

Correcto

Lo que no entiendo es por qué hallas la densidad del centro de la Tierra (Aunque eso no debería ser 0?) si la que piden es hasta una profundidad h.

Lo que se hace 0 en el centro de la tierra es la gravedad , la presion,la temperatura, y la densidad crecen con la profundidad y son maximas en el centro, las expresiones de sus formulas son bastante complicadas dependiendo si lo que analizas es un planeta solido liquido o gaseoso, o si es una estrella , como el sol o una de neutrones.
Por ello te aclare que es una simplificación sencilla.

¿puedes definir qué es cada símbolo al principio? y ¿Cómo llegas a la expresión que te da la ley en función de r?

$$\rho_{(r)}=\rho_{max}-\dfrac rR (\rho_{max}-\rho_{sup})$$

$$\rho_{(h)}=\rho_{max}-\dfrac {R-h}{R} (\rho_{max}-\rho_{sup})$$

$\rho_{(r)}$=Densidad cuando el radio es $r$ en la funcion(1)
$\rho_{(h)}$=Densidad cuandola profundidad es $h$ en la funcion(2)
$\rho_{max}$= densidad maxima que habria en el centro de la tierra.
$r$=Radio (variable de la funcion (1))
$R$=Radio de la tierra
$\rho_{sup})$= densidad en la superficie
$h$=Profundidad=$R-r$ (variable de la funcion (2))

Es indistinto usar la funcion 1 o 2 ya que como veras reemplace r por R-h usaremos siempre la funcion 2

Quiza te sirva mejor despejarla quedandote

$$\rho_{(h)}=\rho_{sup}+\dfrac {h}{R} (\rho_{max}-\rho_{sup})$$

con

$\rho_{(h_o)}=2\rho_{(0)}=2\rho_{sup}$

$h_o$= profundidad a la que la densidad es el doble de la densidad de la superficie

si uso $h_o$ como variable en la funcion (2) e igualo a $2\rho_{sup}$ llegas a esta relación

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Donde $\rho_{max}$=densidad en el centro de la tierra que queda fijado cuando le asignes un valor a $h_o$ ( en la practica se haría al revés ,estimas $\rho_{max}$ y de alli a obtienes $h_o$ donde la densidad es el doble)

Luego reemplazo el valor de $\rho_{max}$ por es de esta relacion en la funcion(2) y obtengo

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que cumple si $h=0$ entonces $\rho_{(0)}=\rho_{sup}$
y cuando $h=h_o$ deberia suceder que $\rho_{(h_o)}=2\rho_{sup}$
y si h=R entonces $\rho_{(R)}\rho_{max}$

Yo he hecho esto pero no estoy seguro:
${p}_{sup }$ es la densidad de la Tierra en la superficie terrestre.
La densidad bajo una altura h (${p}_{h }$) será:
${p}_{h }=\dst\frac{M}{\frac{4}{3 }\pi {(R+h)}^{3 } }$

Si h es positiva lo que has calculado aqui es la densidad de una esfera de R+h de radio que tiene una masa similar a la de la tierra. Ten en cuenta que para podernos entender h es una distancia positiva cuando vas desde la superficie hacia el centro de la tierra.

y la densidad desde la superficie hasta una profundidad h (${p}_{-h })$será:
${p}_{-h }=\dst\frac{m}{\frac{4}{ 3}\pi {R}^{ 3}-\frac{4}{ 3}\pi{(R-h)}^{3 }}$
Donde m es la masa que hay desde la superficie hasta una profundidad h.

usa \rho para obtener $\rho$ me costo descifrar que era lo que pretendias con la formula

ahora bien como obtienes el valor de m para cada h ? si extrapolas lo que ocupa M en un volumen V de la tierra y por relacion simple dices que es la masa que ocupa el volumen del denominador de tu expresion matematica es que has supuesto constante la densidad y nunca llegaras al doble.

tu has calculado el volumen que ocupa esa masa pero para hallar $\rho$ debes saber como es m en funcion de h o r y estas en la misma encrucijada

Desconozco como cientificamente llegan a saber cual es la funcion $\rho_{(r)}$ pero para ello seguro tienen en cuenta de que materiales esta compuesto el interior, los procesos quimicos, la radiacion emitida, o simplemente el modulo de compresibilidad.

Por ello te recuerdo que "lo que yo entiendo sobre el enunciado del problema" es que consiste en que escojas la relacion, Lineal , parabolica, cubica, exponencial o hiperbolica y llegues a una funcion de los parametros que tienes como datos, que son los que ya tenias mas el de $h_o$

Saludos

[Al2000]

Re: Dudas con un problema de gravitación

Disculpa, R^3, pero lo que pone el enunciado

A continuación, alguien le indica que puede considerar la densidad terrestre por debajo de una altura h como el doble de la densidad que hay desde la superficie hasta una profundidad h.

no se puede interpretar de otra forma mas que como un modelo de dos capas de densidades constantes, la más profunda con densidad el doble de la más superficial, con una transición discontinua a la profundidad h.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Dudas con un problema de gravitación

R^3 por ser cuadrado visto de todos lados?
Mi interpretacion fue mas del doble y no exactamente el doble.

Si es un modelo de capas es sencillisimo,

$\rho_{sup}= \dfrac MV = \dfrac {M_1+M_2}{\frac43\pi R^3}= \dfrac {\rho V_1 + 2\rho V_2}{\frac43\pi R^3}=$

$\rho_{sup}= \dfrac {\rho \frac43\pi (R^3-(R-h_o)^3 )+ 2\rho\frac43\pi (R-h_o)^3}{\frac43\pi R^3}=\rho (1+\dfrac {(R-h_o)^3 }{R^3})=\rho (1+(\frac {R-h_o}{R})^3)$


o en funcion de los datos del problema

$\rho_{sup}=\dst\frac{3\pi {(\sqrt{\frac{1}{ R-h_m}}-\sqrt{\frac{1}{ R}})}^{ 2}l}{G{\Delta t}^{2 } } (1+(\frac {R-h_o}{R})^3)$

ya que $h_m$ (medicion) $\neq h_o$ (altura de cambio de capa)

Saludos

[Visitante]

Re: Dudas con un problema de gravitación

R^3 por ser cuadrado visto de todos lados?
Mi interpretacion fue mas del doble y no exactamente el doble.

Si es un modelo de capas es sencillisimo,

$\rho_{sup}= \dfrac MV = \dfrac {M_1+M_2}{\frac43\pi R^3}= \dfrac {\rho V_1 + 2\rho V_2}{\frac43\pi R^3}=$

$\rho_{sup}= \dfrac {\rho \frac43\pi (R^3-(R-h_o)^3 )+ 2\rho (R-h_o)^3}{\frac43\pi R^3}=\rho (1+\dfrac {(R-h_o)^3 }{R^3})=\rho (1+(\frac {R-h_o}{R})^3)$


o en funcion de los datos del problema

$\rho_{sup}=\dst\frac{3\pi {(\sqrt{\frac{1}{ R-h_m}}-\sqrt{\frac{1}{ R}})}^{ 2}l}{G{\Delta t}^{2 } } (1+(\frac {R-h_o}{R})^3)$

ya que $h_m$ (medicion) $\neq h_o$ (altura de cambio de capa)

Saludos

Eso es lo que buscaba y ya veo en que me confundía, pensaba que con "debajo de una altura h" se referían a la altura desde la superficie terrestre hacia "arriba" y no desde el centro de la Tierra. A ver si los físicos se expresan mejor xd

Pd: Te olvidaste de poner $\dst\frac{4 \pi}{ 3}$ en V2, por lo que en realidad es:
$\rho_{sup}= \dfrac {\rho \frac43\pi (R^3-(R-h_o)^3 )+ 2\rho\frac{4}{3 } \pi(R-h_o)^3}{\frac43\pi R^3}=\dst\frac{\rho ({R}^{ 3}+{(R-h)}^{ 3})}{{R}^{3 } }$
Saludos,
Malevolex

- - - Actualizado - - -

La respuesta al apartado 3 es:
$g=\frac{GM}{{r}^{2} }=\dst\frac{G\frac{4}{ 3}\pi {r}^{3 }\frac{{\rho}_{sup }}{1+{(\frac{R-{h}_{ 0}}{ R})}^{ 3} }}{{r}^{ 2} }$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿Es correcto?

[Richard R Richard]

Re: Dudas con un problema de gravitación

Pd: Te olvidaste de poner ...

lo edite y corregi para que estemos de acuerdo

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Te falto el tercio
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

pero

¿Es correcto?

No Malevolex creo que debe ser una funcion partida una entre cuando va de el radio de 0 a$R-h_o$ donde tienes el doble de densidad y mas hacia la superficie otra donde solo tienes una densidad normal digamos.

Ahora bien la primera parte es lineal, pero la de mas cercana a superficie consta de una parte que es lineal sumada a otra que varia disminuyendo a media que aumenta el radio al cuadrado. Es decir considerando a esa esfera con exceso de densidad por separado, mas una funcion lineal del radio (el exceso de densidad es $\rho$ tambien).

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

como

$\rho= \dfrac{\rho_{sup}}{1+(\dfrac {R-h_o}{R})^3}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Aveces no simplifico para que sigas mejor el hilo de la deducción, espero te sea útil.

Saludos

[Visitante]

Re: Dudas con un problema de gravitación

lo edite y corregi para que estemos de acuerdo


Te falto el tercio
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

pero


No Malevolex creo que debe ser una funcion partida una entre cuando va de el radio de 0 a$R-h_o$ donde tienes el doble de densidad y mas hacia la superficie otra donde solo tienes una densidad normal digamos.

Ahora bien la primera parte es lineal, pero la de mas cercana a superficie consta de una parte que es lineal sumada a otra que varia disminuyendo a media que aumenta el radio al cuadrado. Es decir considerando a esa esfera con exceso de densidad por separado, mas una funcion lineal del radio (el exceso de densidad es $\rho$ tambien).

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

como

$\rho= \dfrac{\rho_{sup}}{1+(\dfrac {R-h_o}{R})^3}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Aveces no simplifico para que sigas mejor el hilo de la deducción, espero te sea útil.

Saludos

Entiendo, suponía que volvíamos a la densidad terrestre normal y no se consideraba las dos capas sino una, estaba equivocado. Gracias.

[Richard R Richard]

Re: Dudas con un problema de gravitación

Luego de haber consultado con la almohada me dado cuenta de lo siguiente

$\rho_A=\dst\frac{\rho_B ({R}^{ 3}+{(R-h)}^{ 3})}{{R}^{3 } }$

Lo que habia calculado como $\rho_{sup}$ o $\rho_A$ en realidad es la densidad media de la tierra, la densidad en la superficie sigue siendo $\rho$ o $\rho_B$

Me extraño al reemplazar en la expresion gravedad partida, pero no reacccione.

Asi $\dst\rho_{sup}=\rho=\dfrac{\rho_{media}}{\frac{({R}^{ 3}+{(R-h)}^{ 3})}{{R}^{3 } }}=\dfrac{3gR^2}{4\pi G (R^3+(R-h)^ 3) }$

y el ultimo paso en el calculo de la gravedad en función del radio esta demás , solo es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Mas vale tarde que nunca

Saludos

[Visitante]

Re: Dudas con un problema de gravitación

Luego de haber consultado con la almohada me dado cuenta de lo siguiente

$\rho_A=\dst\frac{\rho_B ({R}^{ 3}+{(R-h)}^{ 3})}{{R}^{3 } }$

Lo que habia calculado como $\rho_{sup}$ o $\rho_A$ en realidad es la densidad media de la tierra, la densidad en la superficie sigue siendo $\rho$ o $\rho_B$

Me extraño al reemplazar en la expresion gravedad partida, pero no reacccione.

Asi $\dst\rho_{sup}=\rho=\dfrac{\rho_{media}}{\frac{({R}^{ 3}+{(R-h)}^{ 3})}{{R}^{3 } }}=\dfrac{3gR^2}{4\pi G (R^3+(R-h)^ 3) }$

y el ultimo paso en el calculo de la gravedad en función del radio esta demás , solo es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Mas vale tarde que nunca

Saludos

Es cierto que es la densidad media de la Tierra, pero eso es al fin y al cabo la densidad de la tierra, no?
Pd: p sup no es lo mismo que p, es el doble.
Y hay que ponerlo en funcion de L,R,h, p sup

[Richard R Richard]

Re: Dudas con un problema de gravitación

Es cierto que es la densidad media de la Tierra, pero eso es al fin y al cabo la densidad de la tierra, no?

Correcto, es la que podemos medir mas facilmente me diante experimentos

Pd: p sup no es lo mismo que p, es el doble.

Creo que no, $\rho_{sup}$ debe ser Inferior a la $\rho_{media}$,y esta ultima inferior a $2 \rho_{sup}$, sino no seria una media(promedio)

Y hay que ponerlo en funcion de L,R,h, p sup

Asi es

saludos

[Visitante]

Re: Dudas con un problema de gravitación

Correcto, es la que podemos medir mas facilmente me diante experimentos



Creo que no, $\rho_{sup}$ debe ser Inferior a la $\rho_{media}$,y esta ultima inferior a $2 \rho_{sup}$, sino no seria una media(promedio)



Asi es

saludos

Si la densidad media es la densidad de la tierra y la densidad superficial p sup tambien lo es, entonces la densidad media es la densidad superficial, no?
Con p no me referia a la densidad media sino a la densidad que hay desde la superficie hasta una profundidad h, dijiste que p sup es igual a p, cuando es al reves, p sup ighal a 2 p (lo dice el enunciado).
Es al reves, la densidad de la capa debe ser menor que la media y p sup mayor.
He estado tratando de poneerlo en funcion de L pero no lo consigo, como seria?