2o ciclo Centro de masa y centro de gravedad

[cv5r20]

Supongamos una lámina de anchura a y altura b, calcular el centro de masas y el centro de gravedad

Sabemos que la definición de centro de masas es:

${X}_{CM }=\frac{\mathrm{\int x dA} }{\mathrm{\int dA} }$

${Y}_{CM }=\frac{\mathrm{\int y dA} }{\mathrm{\int dA} }$


Calculamos: $\int dA$

$\iint dx dy =ab$


Calculamos: $\int xdA$

$\iint x dx dy =\frac{\mathrm{a^2b} }{\mathrm{2} }$


Calculamos: $\int ydA$

$\iint y dx dy =\frac{\mathrm{ab^2} }{\mathrm{2} }$


Por tanto obtenemos, lo cual es lógico para una placa rectangular:

${X}_{CM }=\frac{\mathrm{\int x dA} }{\mathrm{\int dA} }=\frac{\mathrm{a} }{\mathrm{2} }$

${Y}_{CM }=\frac{\mathrm{\int y dA} }{\mathrm{\int dA} }=\frac{\mathrm{b} }{\mathrm{2} }$

Ahora calculemos su centro de gravedad sabiendo que en la coordenada vertical $y$ el campo potencial gravitatorio es variable.

Como en la coordenada x no varia el potencial gravitatorio sabemos que su punto será el mismo que en el centro de masas:

${X}_{CG }=\frac{\mathrm{\int x dA} }{\mathrm{\int dA} }=\frac{\mathrm{a} }{\mathrm{2} }$


La definición de centro de gravedad es:

${Y}_{ CG}=\frac{\mathrm{\int y\times \vec{g}dA} }{\mathrm{\int \vec{g}dA} }$


Sabemos que la la función del campo potencial gravitatorio desde la supeficie de la tierra hacia arriba es:

$\vec{g}=\frac{\mathrm{GM} }{\mathrm{r^2} }\hat{\jmath}$


Calculamos: $\iint \vec{g}dA$

$\int_{0}^{b} \! \int_{0}^{a} \!\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{y^2} } \, dx dy = \int_{0}^{b} \! \frac{\mathrm{GMa}}{\mathrm{y^2} } \, dy = - \frac{\mathrm{GMa} }{\mathrm{y} }|_{0}^{b} \!$

Aquí es donde comienza mi problema ya que al evaluar la integral anterior me sale algo más infinito

¿qué está mal?

[Umbopa]

Re: Centro de masa y centro de gravedad

$r^2$ es la distancia al centro de la tierra no la base de la lamina... $\int_{R_{T}}^{R_{T}+a}$ donde $R_{T}$ es la radio terrestre, o $\int_{0}^{a}$ pero $\frac{GM}{(R_{T}+y)^2}$

De todas forma el campo en la lamina si esta en la superficie terrestre es constante y el centro de gravedad coincide con el centro de masas

[cv5r20]

Re: Centro de masa y centro de gravedad

$r^2$ es la distancia al centro de la tierra no la base de la lámina... $\int_{R_{T}}^{R_{T}+a}$ donde $R_{T}$ es la radio terrestre, o $\int_{0}^{a}$ pero $\frac{GM}{(R_{T}+y)^2}$

Cierto, que despiste más tonto.

Entonces queda:

${Y}_{CG }=\frac{\mathrm{G{M}_{T }ab} }{\mathrm{(b+{R}_{ T}){R}_{T }} }$

De todas forma el campo en la lamina si esta en la superficie terrestre es constante y el centro de gravedad coincide con el centro de masas

Exacto, pero lo que quería ver es cuanto se desplaza este del CM en elementos tan altos que se deba tener en cuenta la variación del campo potencial gravitatorio.

Gracias y saludos.

[Richard R Richard]

Re: Centro de masa y centro de gravedad

creeria que Y_{CG} debe ser independiente de la constante universal y de la masa de la tierra , pero no puede serlo del radio

la formula

$Y_{CG}=\dst \dfrac{\mathrm{\int y\times \vec{g}dA} }{\mathrm{\int \vec{g}dA} }$

es correcta pero el resultado que has puesto

${Y}_{CG }=\frac{\mathrm{G{M}_{T }ab} }{\mathrm{(b+{R}_{ T}){R}_{T }} }<br />$

es solo el denominador de la ecuacion anterior

yo llegue a

$Y_{CG}=\dst \dfrac {1}{ln \left[(\dfrac{R_T+b}{R_T})^{\dfrac{R_T(R_T+b)}{b}} \right ]+1}$

Saludos