1r ciclo Dos Bloques y un Plano Inclinado

[romeroluisraul]

¡Muy buenas horas!

He estado teniendo inconvenientes con un problema que involucra dos bloques, uno encima del otro, y un plano inclinado. El enunciado es:

Un bloque de masa $m$ se apoya sin deslizar sobre otro bloque de masa $M$, el cual se encuentra sobre un plano, inclinado un ángulo $\alpha$ respecto la horizontal. El plano inclinado es liso y supuesto inercial. El sistema tiene una velocidad $\vec{v}$ y una aceleración $\vec{a}$, no necesariamente paralelas entre sí. Demuestre que la fuerza de roce que actúa sobre $m$ tiene la misma dirección que la aceleración del sistema.

Para resolver el problema, en primer lugar tomé un sistema de referencia donde el eje X era paralelo al plano inclinado, con dirección positiva hacia la "izquierda" y el eje Y era perpendicular al mismo, con dirección positiva hacia "arriba". Hice mis diagramas de cuerpo libre, supuse $\vec{a}\cdot\hat{\imath}>0$ y escribí la segunda ley de Newton, considerando que la masa era constante a lo largo del movimiento:

Para $M$: $M\vec{g}+\vec{N}+\vec{F_R}'+\vec{n}'=M\vec{a}_M$

Para $m$: $m\vec{g}+\vec{F_R}+\vec{n}=m\vec{a}_m$

Donde las fuerzas de acción y reacción se identifican con la notación prima, $\vec{N}$ es la normal que el plano le aplica a $M$ (y por tanto al sistema de dos masas), $\vec{n}$ es la normal entre las dos masas, $\vec{F_R}$ es la fuerza de roce entre las masas y $M\vec{g}$ ó $m\vec{g}$ son los pesos respectivos.

Posteriormente, escribí componente a componente las ecuaciones anteriores y empleé el vínculo $\vec{a}_M=\vec{a}_m=\vec{a}$, pues al apoyarse el bloque $m$ sin deslizar sobre $M$, tienen la misma aceleración. Cabe destacar que el roce es estático y en el problema no me indican que las condiciones sean críticas, por lo que no consideré adecuado hacer la sustituición $F_R=\mu n$.

Para $M$ la segunda Ley de Newton es:

$\sum F_x=Mg\sin\alpha-F_R=Ma \Rightarrow a=\frac{Mg\sin\alpha-F_R}{M}$

$\sum F_y=N-n-Mg\cos\alpha=0$

Para $m$:

$\sum F_x=mg\sin\alpha+F_R=Ma \Rightarrow a=\frac{mg\sin\alpha+F_R}{m}$

$\sum F_y=n-mg\cos\alpha=0$

Igualando las aceleraciones obtengo

$\frac{Mg\sin\alpha-F_R}{M}=\frac{mg\sin\alpha+F_R}{m} \Rightarrow F_R=0$

¡Lo cual no tiene sentido! Si la fuerza de roce es nula, el bloque $m$ se movería hacia la derecha del eje X respecto a $M$, o lo que es lo mismo, no se movería respecto el observador inercial, hasta llegar un punto en que se salga de los extremos de $M$, cayendo desde la altura donde se encuentraba y empezando a moverse sobre el plano inclinado. Para demostrar lo que me pedían, iba a considerar que se verificaba que $\vec{F_R}\cdot\hat{\imath}$ (ojo, y no la prima) tenía el mismo signo que mi suposición inicial, $\vec{a}\cdot\hat{\imath}>0$. Imagino que hay algún error el desarrollo del problema. Por favor ayuda.

P.D. Aún estudio mecánica de la partícula. No lo comenté arriba, imagino se visualiza en el desarrollo.

[felmon38]

Re: Dos Bloques y un Plano Inclinado

Hola, las ecuaciones están bien y F_R=0 es lógico.
Saludos