Secundaria Duda sobre momento angular

[alexpglez]

"Dos satélites, A y B, cuyas masas son tales que $m_a= 50 m_b$ se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son $v_b=2v_a$. El radio de la órbita de B será:
a) igual a la de A c) La mitad que la de A
b) El doble que la de A d) 25 veces mayor que la de A
"
La respuesta correcta dijeron que era la d), ya que $L_a=r_a m_a v_a=25 r_a m_b v_b=r_b m_b v_b=L_b \;\;\;\; r_b=25 r_a$.
Pero yo creo que falta el seno del ángulo que forman r y v (o r y p). Sin embargo me parece haber entendido del profesor que las órbitas eran circulares (entonces el seno da 1), pero yo no sobreentiendo.
Mi duda radicaría en el seno entonces.

Gracias, un saludo.

[Alriga]

Re: Duda sobre momento angular

.... El radio de la órbita de B será:
a) igual a la de A c) La mitad que la de A
b) ....

Si te dicen el RADIO de la órbita es porque la órbita es circular.
Si fuera elíptica deberían decirte el SEMIEJE MAYOR de la órbita.
(Y en una órbita elíptica van variando tanto la distancia al objeto orbitado como la velocidad orbital, es decir ni "r" ni "v" son constantes)
Saludos.

[alexpglez]

Re: Duda sobre momento angular

Lo cierto es que es un poco ambiguo mi libro, ya que en algunos (la mayoría) problemas en vez de semieje mayor me dice simplemente distancia o distancia media y en clase mi profe varias veces dice radio..
Supongo que lo más lógico en este problema es eso, que sea el radio cte y la órbita circular.

Saludos

[Alriga]

Re: Duda sobre momento angular

... Pero yo creo que falta el seno del ángulo que forman r y v (o r y p) ...

Una vez que un satélite ya está en órbita en torno a la Tierra, el momento angular se conserva, (si no hay rozamiento con la atmósfera y si no enciende sus cohetes), pues no hay fuerzas exteriores ni momentos exteriores sobre el satélite.

$\vec L=\vec r \cdot m \vec v = cte$

Por eso si la órbita no es circular sino elíptica, (con el centro de la Tierra en uno de los focos de la elipse), cuando el satélite está a la distancia mínima de la Tierra, (perigeo), la velocidad ha de ser la máxima y cuando el satélite está a la distancia máxima de la Tierra, (apogeo), la velocidad ha de ser la mínima. Además sólo en esos dos puntos el radio vector que une el centro de la Tierra con el satélite y el vector velocidad son perpendiculares. En el resto de los puntos de la órbita “r” y “v” forman un ángulo diferente de 90º, como tú bien dices.
En un cuerpo que se mueve en una órbita elíptica en torno a otro por la acción de las fuerzas gravitatorias, la constancia del momento angular es equivalente a la 2ª Ley de Kepler, “El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales”
Saludos.

[arivasm]

Re: Duda sobre momento angular

Observo que el enunciado menciona una comparación entre los radios de las órbitas, de donde hay que concluir que se trata de órbitas circulares. Lo mismo podemos decir a la vista de que las velocidades de los satélites son constantes (como ya se ha mencionado anteriormente).

La cuestión que quiero traer aquí es que el enunciado simplemente no es correcto: no se puede elegir la relación entre masas, momentos angulares y velocidades como uno quiera, si se trata de órbitas circulares.

Puesto que la velocidad orbital cumple que $\dst v^2 = \frac{GM}{r}$, donde $M$ es la masa del cuerpo central (en este caso la Tierra) tenemos que radio de la órbita y velocidad han de cumplir una relación muy determinada. Así pues, la respuesta del ejercicio debería ser que como $v_b=2v_a$ entonces $r_b=\frac{1}{4}r_a$.

Si metemos en juego el momento angular, que para una órbita circular será $L=mrv$, podemos escribirlo (por la relación anterior entre velocidad y radio orbital) como $\dst L=\frac{GMm}{v}$. En consecuencia, todos los satélites que orbiten alrededor de un mismo cuerpo cumplirán que $\dst \frac{Lv}{m}=GM$ es una constante. Sin embargo, en este caso tenemos que el valor de esa expresión es diferente para ambos satélites (es 25 veces mayor para el satélite a que para el b).

Por tanto, la respuesta correcta no es ninguna de las proporcionadas, sino "el ejercicio es incorrecto".

[Alriga]

Re: Duda sobre momento angular

La cuestión que quiero traer aquí es que el enunciado simplemente no es correcto: no se puede elegir la relación entre masas, momentos angulares y velocidades como uno quiera, si se trata de órbitas circulares.
Puesto que la velocidad orbital cumple que $\dst v^2 = \frac{GM}{r}$, donde $M$ es la masa del cuerpo central (en este caso la Tierra) tenemos que radio de la órbita y velocidad han de cumplir una relación muy determinada. Así pues, la respuesta del ejercicio debería ser que como $v_b=2v_a$ entonces $r_b=\frac{1}{4}r_a$.
Por tanto, la respuesta correcta no es ninguna de las proporcionadas, sino "el ejercicio es incorrecto".

Vaya, pues yo me había quedado en la superficialidad de que al decir "RADIO" las órbitas debían ser circulares y no me había dado cuenta de lo que tú explicas , que es mucho más importante, (y absolutamente cierto, por supuesto)
¡ alexpglez, explícaselo al profe y gana puntos !
Saludos

[alexpglez]

Re: Duda sobre momento angular

A mi profe también se le habrá pasado, dimos la velocidad orbital el día siguiente.. Supongo que al querer simplificar tanto las cosas para los alumnos, se cometen muchos errores! (como ya me ha pasado en otros ejercicios y explicaciones)

Y aprovecho una última duda, el momento angular $L=mr^2 \dot \theta$, ¿cómo se mide en la práctica? La duda se me ha planteado al analizar la energía:

$$E=\frac{1}{2}m\dot r ^2 + \frac{L^2}{2mr^2} -G\frac{Mm}{r}$$

Había visto las curvas que crea el potencial efectivo $V'(r) = \frac{L^2}{2mr^2} -G\frac{Mm}{r}$, pero nunca me había parado a darles valores, ¿cómo se mide L y m en la práctica (o L/m)?

[arivasm]

Re: Duda sobre momento angular

No conozco ningún procedimiento que permita la medida directa del momento angular (ni del lineal, que es el equivalente traslacional). Sólo se me ocurren procedimientos indirectos.

Con respecto a la expresión que pones para la energía mecánica de un cuerpo en órbita alrededor de otro mucho más masivo debido a la gravitación, en la que aparece el momento angular, se trata de realizar una substitución del término de energía cinética en el que aparece la velocidad angular. Recordemos que en coordenadas polares el módulo de la velocidad es $v^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2$. La introducción de la energía potencial efectiva es una pequeña artimaña que tiene la comodidad de permitir visualizar el acotamiento de la parte radial del movimiento en función de la energía mecánica y del momento angular, que son dos constantes del movimiento.

[alexpglez]

Re: Duda sobre momento angular

No conozco ningún procedimiento que permita la medida directa del momento angular (ni del lineal, que es el equivalente traslacional). Sólo se me ocurren procedimientos indirectos.

Con respecto a la expresión que pones para la energía mecánica de un cuerpo en órbita alrededor de otro mucho más masivo debido a la gravitación, en la que aparece el momento angular, se trata de realizar una substitución del término de energía cinética en el que aparece la velocidad angular. Recordemos que en coordenadas polares el módulo de la velocidad es $v^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2$. La introducción de la energía potencial efectiva es una pequeña artimaña que tiene la comodidad de permitir visualizar el acotamiento de la parte radial del movimiento en función de la energía mecánica y del momento angular, que son dos constantes del movimiento.

Si, sé perfectamente de donde sale, lo que preguntaba era que para cada valor de L y m, la curva va a ser bastante diferente, y cómo se determinan en la realidad las constantes para trabajar con esta fórmula.. aunque lo cierto es que debería preguntar si esta fórmula de la energía es sólo de interés teórico o tiene aplicación práctica..

[arivasm]

Re: Duda sobre momento angular

Quizá no esté entendiendo bien tu duda. Para determinar el momento angular por unidad de masa de Marte, por ejemplo, basta con conocer sus vectores velocidad y posición en un instante determinado. El problema entonces está en conocer su masa, para lo que se puede recurrir al movimiento de sus lunas.

De todos modos, si te fijas en las diferentes expresiones que aparecen en la descripción de la mecánica del movimiento kepleriano, de un cuerpo mucho más ligero que aquél alrededor del cual orbita, las constantes relevantes (tales como momento angular o energía mecánica) lo son por unidad de masa.

Con respecto a la fórmula que citas, tiene el interés de relacionar $\dot r$ con $r$, por supuesto en función de la energía y momento angular (ambos por unidad de masa), por lo que es posible realizar la integración y encontrar $r(t)$, aunque, por supuesto no es una tarea precisamente sencilla,