1r ciclo Resistencia de fluidos

[franco_c2]

Hola, tengo problemas con este problema (valga la redundancia)

"Una piedra pequeña se mueve en agua y la fuerza que el agua ejerce sobre ella está dada por la ecuación f=kv. Antes, se midió la rapidez terminal de la piedra, que es de 2.0 m/s. La piedra se proyecta hacia arriba con una rapidez inicial de 6.0 m/s. Puede despreciarse la fuerza de flotabilidad sobre la piedra. a) En ausencia de resistencia del fluido, ¿qué altura alcanzaría la piedra y cuánto tardaría en alcanzar esa altura máxima? b) ¿Cómo cambian las respuestas del inciso a), si se incluyen los efectos de la resistencia del fluido?"

En el primer inciso no hay inconvenientes. Mi planteamiento para el b) es el siguiente:

Por la segunda ley de Newton se tiene $mg-kv=ma$ , como la velocidad terminal ${v}_{t}=\frac{mg}{k}$ divido ambos miembros en $k$ y al segundo multiplico y divido por $g$, entonces ${v}_{t}-v=\frac{{v}_{t}}{g}a$. Ahora reemplazo la aceleración por dv/dt e integro:
$\int_{{v}_{0}}^{v}\frac{dv}{v-{v}_{t}}=-\frac{g}{{v}_{t}}\int_{0}^{t}dt$ $\Rightarrow$ $ln\left( \frac{v-{v}_{t}}{{v}_{0}-{v}_{t}}\right)=-\frac{g}{{v}_{t}}t$ de aquí despejo t y me da el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima: t=0,28s

Aplicando logaritmo y acomodando un poco tengo $\frac{dx}{dt}=v=({v}_{0}-{v}_{t}){e}^{-\frac{gt}{{v}_{t}}}+{v}_{t}$
Vuelvo a integrar para obtener la posición en función del tiempo $\int_{0}^{x}dx=({v}_{0}-{v}_{t})\int_{0}^{t}{e}^{-\frac{gt}{{v}_{t}}}dt+{v}_{t}\int_{0}^{t}dt$ $\Rightarrow$ $x=\frac{{v}_{t}}{g}({v}_{t}-{v}_{0}){e}^{-\frac{gt}{{v}_{t}}}+{v}_{t}t$

Ahora si reemplazo los datos me da x=0,97m lo cual me parece mucho, además no debería ser negativo? También otro error notable es que si t=0 entonces x debería ser cero también, lo cual no cumple

Esta es la solución que da el solucionario del libro (Sears-Zemansky) la cual no comprendo




¿por qué el límite inferior es $v$ y el superior ? aunque con los límites que yo le di me da el mismo resultado para el tiempo.
En la integral de la posición se usa la ecuación 5.10 (previamente dada por el libro) que deriva de $mg-kv=ma$ pero se diferencia en que la velocidad inicial es cero, entonces los límites inferior y superior sería 0 y $v$ respectivamente, lo que da como resultado dicha ecuación 5.10
Pero, ¿cómo es que puede usar la ec 5.10 si ésta no está en función de la velocidad inicial $({v}_{0})$? No entiendo. Mi sentido común me dice que debería tener como variable a ${v}_{0}$ ya que esta ecuación me está diciendo que la velocidad inicial es cero

[Alriga]

Re: Resistencia de fluidos

¿por qué el límite inferior es $v$ y el superior

Porque integra respecto de la variable velocidad, por lo tanto los dos límites de la integral han de ser dos velocidades
-En el instante inicial del ejercicio la velocidad es $v_0$ hacia arriba. Luego el límite inferior de la integral debería ser $v_0$ (Se han olvidado del sub-CERO) Y cuando sustituye el valor pone signo negativo porque dice que "taking downward as positive"="tomando hacia abajo como positivo" con lo cual $v_0=-6m/s$
-El instante final del ejercicio es cuando la piedra se para, luego el límite superior de la integral debe ser que la velocidad es CERO y eso si está correcto.

Saludos.