Otras carreras Problema cinemática

[Derme]

El problema es el siguiente: "Un punto cuya posición inicial el x=0, y=b, tiene una velocidad inicial V₀ paralela al eje OX dirigida en el sentido positivo y está sometido a una aceleración paralela al eje OY dirigida en el sentido negativo, siendo a_y=-k²y." Lo que me piden es la ecuación de la trayectoria.

El problema es que no sé ni por donde cogerlo, lo único que hice fue integrar a_y para obtener V_y=-k²yt y de la misma manera integré Vy para obtener y(t)=(-k²yt²)/2.

[visitante20160513]

Re: Problema cinemática

Basta con descomponer el movimiento en sus proyecciones sobre los ejes y resolver dos ecuaciones relativamente sencillas.

1º).- Para el movimiento sobre X la segunda ley de Newton nos dice que $x''=0$ puesto que no existe componente de la aceleración horizontal.
2º).- Para el movimiento sobre Y la segunda ley de Newton nos dice que $y''=-k^2y$ que se corresponde con la aceleración vertical.

¿Hace falta que siga? Son dos ecuaciones muy fáciles de resolver.

Sugerencia: Integra dos veces la primera directamente para obtener $x(t)$. Multiplica los dos miembros de la segunda por $y'$ e integrala otras dos veces para obtener $y(t)$. Con lo que obtienes las paramétricas de la trayectoria.

Salu2, Jabato.

[Derme]

Re: Problema cinemática

Buenas, Jabato. Gracias por tu respuesta, pero es que no acabo de enteder lo de descomponer el movimiento en sus proyecciones sobre los ejes, ahí me pierdo. ¿Podrías explicármelo más en detalle?

[Alriga]

Re: Problema cinemática

Sobre el eje x no hay aceleración

$x(t)=v_0 \ t$

Sobre el eje y

$\ddot y(t)=-k^2 y(t)$

$\ddot y+k^2 y=0$ (Ecuación diferencial lineal de 2º orden homogénea con coeficientes constantes)

$y(t)=c_1 \sin kt+c_2 \cos kt$

Como según el enunciado $y(0)=b$ sustituyendo, se obtiene $c_2=b$

$y(t)=c_1 \sin kt+b \cos kt$

Derivando: $v_y(t)=\dfrac{dy}{dt}=c_1k \cos kt-bk \sin kt$

Según el enunciado $v_y(0)=0$ de donde se deduce que $c_1=0$ Por lo tanto la ecuación de la trayectoria es.

$x(t)=v_0 \ t$

$y(t)=b \ \cos kt$

O si lo prefieres

$y(x)=b \ \cos \left ( \dfrac{k}{v_0} x \right )$

Saludos