1r ciclo Problema de dinámica

[garrak]

Muy buenas a todos!
Hoy vengo con un problema de cinemática. He intentado resolverlo durante dos días enteros y no lo he conseguido. El problema es el siguiente:
Dos cañones idénticos están situados uno frente a otro, como muestra la figura. Cuando disparen, las balas seguirán las trayectorias que se muestran, siendo P el punto donde las trayectorias se cruzan. Demostrar que para que las dos balas choquen hay que disparar los cañones simultáneamente.

Siento no poder subir la imagen adjunta, pero esta consiste en una superficie plana con un cañón a la izquierda apuntando a otro cañón que se encuentra en el borde de otra superficie más elevada a la derecha. Las trayectorias son simplemente dos parábolas que se cruzan. Preferiría que no me dieseis la solución completa. Prefiero que me deis únicamente una pista que me ayude a resolverlo (si puede ser), no quiero que me hagáis todo el trabajo.

Muchas gracias.

[arivasm]

Re: Problema de dinámica

A priori una salida es escribir las ecuaciones de movimiento de ambos proyectiles, construyendo una de ellas sobre la base de que el lanzamiento se produce en cierto instante $t_0$ (con lo que será de la forma $\vec r(t)=\vec r_0+\vec v_0 (t-t_0)+\frac{1}{2}\vec g (t-t_0)^2$) imponer la condición de que en el mismo instante $t$ ocupen la misma posición (es decir, que choquen). De esa manera se tienen dos ecuaciones (una surge de la igualdad en x y la otra de la de y) con dos incógnitas ($t$ y $t_0$) y verificar que la solución correspondiente es tal que $t_0=0$

[Richard R Richard]

Re: Problema de dinámica

Como no has dado valores, y el planteo seria solo en teoria, cuando iguales las coordenadas x e y , como dice arivasm, tendras dos ecuaciones con dos incognitas,

Ahora bien , a priori no se si tienes independencia en la eleccion en el angulo de salida de los disparos, y en la elección de la velocidad de los disparos y de la diferencia de altura de los planos, y de la diferencia de tiempos de los disparos, asi en teoria habra situaciones en que puedas hallar que hay dos tiempos y posiciones distintos en que las balas puedan chocar, partiendo de la misma disposición, con los datos del enunciado debes escoger aquellos en que $t$ sea mayor que $t_0$ de ambos cañones. Por ello te piden demostrar que hay solucion unica a partir de los datos del enunciado y $t_0$ es el mismo para ambos cañones.

[garrak]

Re: Problema de dinámica

Siento tardar tanto en responder y la solución que da el famoso Tipler es que la trayectoria siempre se va a encontrar una cantidad (g*t^2)/2 por debajo de la línea recta que forman ambos cañones. No sé si me habré explicado bien, pero no dispongo de mucho tiempo, cuando pueda escanearé la solución y la subiré. Muchas gracias a todos!

[arivasm]

Re: Problema de dinámica

Sin la figura es bastante difícil tomar atajos como el que indicas. ¿Disparan los dos cañones con el mismo ángulo? ¿Lo hacen en sentidos horizontales opuestos o en el mismo? No cuesta tanto hacerle una foto con el móvil, bajarle el peso y adjuntarla... Es una lástima, porque el atajo que pone Tipler parece indicar que el ejercicio es interesante, puesto que no requiere del más mínimo cálculo.

[garrak]

Re: Problema de dinámica

¡Buenas! Siento haber tardado tanto, pero jamás pensé que Física podría llegar a ser tan exigente jajajaja. La verdad es que sí, es un ejercicio muy interesante, porque su resolución requiere de un planteamiento totalmente singular. A continuación adjunto la respuesta. Siento que esté en inglés, pero es el solucionario que tengo. También siento que las ecuaciones no estén escritas en LaTeX, pero a ver si encuentro algo de tiempo para ponerme a estudiarlo.

Two cannons are pointed directly toward each other as shown in
Figure 3-32. When fired, the cannonballs will follow the trajectories shown—P is
the pointt where the trajectories cross each other. If we want the cannonballs to hit
each other, should the gun crews fire cannon A first, cannon B first, or should
they fire simultaneously? Ignore any effects due to air resistance.
We’ll assume that the cannons are identical and use a
constant-acceleration equation to express the displacement of each cannonball as
a function of time. Having done so, we can then establish the condition under
which they will have the same vertical position at a given time and, hence,
collide. The modified diagram shown below shows the displacements of both
cannonballs.

Express the displacement of the
cannonball from cannon A at any
time t after being fired and before
any collision:

Δr=vsub0*t/2+(g*t^2)/2
donde r, g y vsub0 son vectores.

Express the displacement of the
cannonball from cannon A at any
time t′ after being fired and before
any collision:

Δr'=vsub0'*t'/2+(g*t'^2)/2
donde r, g y vsub0 son vectores.

If the guns are fired simultaneously, t = t′ and the balls are the same distance (g*t^2)/2 below the line of sight at all times. Also, because the cannons are identical,
the cannonballs have the same horizontal component of velocity and will reach the horizontal midpoint at the same time. Therefore, they should fire the guns simultaneosly.

[arivasm]

Re: Problema de dinámica

La verdad es que no se ve prácticamente nada...

[Richard R Richard]

Re: Problema de dinámica

Aqui tienes una condicion adicional que es la relación de angulos en que se dispara, como estan en una recta con sentidos opuestos, por trigonometria puedes hallar una relación adicional que evita las soluciones multiples, no lo interprete bien en tu post#4 pero tampoco sabia que los sentidos de los disparos eran en sentidos opuestos. solo que se ubicaban de frente , no que se apuntaban entre si.

Si puedes mejora la calidad de la imagen que has subido, ya que al ampliarla no se lee nada. Cuando halle mas aliviado de tiempo te doy solución completa

pero a priori piensa el problema como si no hubiera gravedad, ambas balas chocarian con independencia del tiempo.

pero con la gravedad el desvio de ambas trayectorias con respeto a la recta debe ser el mismo para ambas balas, este desvio en ambas trayectorias es provocado por el termino $\dfrac 12 g t^2$ en ambas trayectorias y para que este desvio sea el mismo, es unica la condición de que t sea el mismo en ambas con lo que demuestras el enunciado, pues para que t sea el mismo ambos cañones se dispararon simultaneamente.

saludos