1r ciclo Bolas que caen con rozamiento.

[Mossy]

Hola,

Tengo el siguiente problema, dice así: dos esferas de hierro de densidad $\rho = 7500 kg/m^3$ y radios $r=1$ y $5 cm$ se dejan caer desde una altura de $15 m$. Durante la caída están sometidas a una fuerza de rozamiento $\displaystyle F_{roz}=-C (rv)^2$, con $C=1 kg/m^3$. Calcular: a) la velocidad terminal $v_t$ de cada bola. b) determinar la velocidad de caída en función del tiempo. c) encontrar una expresión aproximada para el tiempo que requiere la bola de radio $r$ en alcanzar una velocidad $v=0.99 v_t$ . d)¿Qué bola llega primero al suelo? Justifícalo

Planteé las ecuaciones del movimiento y, escogiendo el eje positivo hacia el suelo me sale $\displaystyle mg+C r^2 v^2 = m \frac{dv}{dt}$

Ahora supuse que para la velocidad terminal se usaba la regla de la cadena $\displaystyle \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dy} \frac{dy}{dt} = \frac{dv}{dy} v$ ,y resolver la ED de variables separadas poniendo como condición en los límites que cuando $y=h=15 m$ , $v=v_t$. Pero no, en la solución pone que es $\displaystyle v_t=\sqrt{4 \pi \rho g r /C}$.

Y la velocidad en función del tiempo pensé en resolver directamente la ecuación del movimiento, pero me queda una función tangente y la solución pone que es $\displaystyle v(t)=v_t \frac{1-e^{-2bt}}{1+e^{2bt}}$, así que de nuevo ni idea jaja Y bueno, sin este apartado los siguientes creo que no se pueden hacer.

Alguien podría echarme un cable?

Saludos,

[visitante20160513]

Re: Bolas que caen con rozamiento.

Con el semieje positivo apuntando hacia abajo la gravedad es positiva y la velocidad también, pero el rozamiento siempre es negativo porque siempre se opone a la velocidad. Creo que la ecuación diferencial debería ser esta otra:

$\displaystyle mg-C r^2 v^2 = m \frac{dv}{dt}$

piénsalo detenidamente y verás que tengo razón. La constante $C$ debe considerarse positiva puesto que la expresión del rozamiento ya lleva el signo incorporado.



Salu2, Jabato.

[Mossy]

Re: Bolas que caen con rozamiento.

Intuía que el rozamiento tendría que restar, pero entonces no entiendo el signo menos en la fuerza del enunciado. Lo que hice yo fue

$$$ \displaystyle \sum F= mg -F_{roz} = mg -(-C(rv)^2)=mg +C(rv)^2=m\frac{dv}{dt} $$$

pero me parecía raro.

Aún así, cómo se hallaría la velocidad terminal y la ecuación de la velocidad en función del tiempo?

[visitante20160513]

Re: Bolas que caen con rozamiento.

Pues resolviendo la ecuación diferencial obtienes la velocidad y de ahí obtienes todo lo demás. Creo que es una EDO del tipo Ricatti que presenta una particular de la forma:

$v=\displaystyle\sqrt{\frac{mg}{Cr^2}}=Cte$

que debería coincidir con la velocidad límite puesto que cuando se alcanza dicha velocidad la fuerza resultante (peso-rozamiento) se anula y por lo tanto la velocidad se va a mantener constante.

Salu2, Jabato.