Otras carreras Ejercicio dinámica y movimiento circular

[NikolaT]

Hola chicos, estoy intentando solucionar este ejercicio, pero no doy con la solución correcta. El procedimienmto que he seguido es el siguiente:

Monté mi sistema de coordenadas de forma que el eje x es tangencial al punto C y el eje y pasa por el centro de la circunferencia. siendo positivo hacía arriba y la derecha.

$\sum_{}\vec{F_y} = m{\omega}^{ 2}{ r}$
$N - mgsen(\alpha) = m{\omega}^{ 2}{ r}$

Donde N es la fuerza que ejerce la superficie sobre la bola.

No conozco ni N ni la velocidad angular así que necesito otra ecuación que no sé de donde sacar. Agradecería cualquier ayuda.

Saludos!

[angel relativamente]

Re: Ejercicio dinámica y movimiento circular

Hola. Por conservación de la energía tienes lo siguiente. Si me permites, tomaré el cero de potencial a la altura D. Las energías potencial y cinética cuando la bola está en A son $V_A=mgr, \; K_A=0$ y cuando está en C, observa que la altura sobre D es $r-r\cos (\alpha - \pi /2 ) = r-r \sin \alpha$, por lo que $V_C=mgr(1-\sin \alpha ), \; K_C= \dfrac 12 m w^2 r^2$. Aplicando la ley de conservación llegas a la ec. del enunciado de $\omega$.

[NikolaT]

Re: Ejercicio dinámica y movimiento circular

Hola. Por conservación de la energía tienes lo siguiente. Si me permites, tomaré el cero de potencial a la altura D. Las energías potencial y cinética cuando la bola está en A son $V_A=mgr, \; K_A=0$ y cuando está en C, observa que la altura sobre D es $r-r\cos (\alpha - \pi /2 ) = r-r \sin \alpha$, por lo que $V_C=mgr(1-\sin \alpha ), \; K_C= \dfrac 12 m w^2 r^2$. Aplicando la ley de conservación llegas a la ec. del enunciado de $\omega$.

Muchas gracias, no había pensado en hacerlo por energía. Pero quedo con la duda, ¿Qué es lo que no estoy considerando usando dinámica?

Saludos!

[Al2000]

Re: Ejercicio dinámica y movimiento circular

Plantea la ecuación en el eje X y resuelve la ecuación diferencial que te queda. Obtendrás $\omega$ en pocas líneas

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. No te comas el coco con el valor de F del enunciado, obviamente es incorrecto como se evidencia si haces $\alpha = 0$...

[NikolaT]

Re: Ejercicio dinámica y movimiento circular

Hola Al2000, lo intenté pero sigo sin dar con la solución

$mgcos\alpha = m\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$

$(mgcos\alpha)dt = mdv$

$\int(mgcos\alpha)dt = \int mdv$

$mgsen\alpha = mv$

$\frac{gsen\alpha}{ r} = \omega$

Apenas voy por la mitad de mi curso de cálculo integral así que intenté resolver la ecuación de la misma forma en que nos demostraron las ecuaciones de cinemática, la diferencia es que en las ecuaciones de cinemática resultaban integrales definidas, acá tengo integrales indefinidas, ¿Tengo que considerar algo para las constantes que me salen al integrar?

Saludos!

[Al2000]

Re: Ejercicio dinámica y movimiento circular

$$m g \cos \alpha = m a_T = m r \frac {d^2 \alpha }{dt^2}$$

$$g \cos \alpha = r \frac {d \omega }{dt} = r \frac {d \omega }{d \alpha }\frac {d \alpha }{dt} = r \omega \frac {d \omega }{d \alpha }$$

$$r \int_{0}^{\omega }\!\! \omega \, d \omega = g \int_{0}^{\alpha }\!\! \cos \alpha \, d \alpha$$

$$\omega = \sqrt {2 g \, \mathrm {sen} \, \alpha /r}$$

Luego sustituyendo en la ecuación para Y, obtienes que $F = 3 m g \, \mathrm {sen} \, \alpha$.


Saludos,

$\mathcal A \ell$

[NikolaT]

Re: Ejercicio dinámica y movimiento circular

$$m g \cos \alpha = m a_T = m r \frac {d^2 \alpha }{dt^2}$$

$$g \cos \alpha = r \frac {d \omega }{dt} = r \frac {d \omega }{d \alpha }\frac {d \alpha }{dt} = r \omega \frac {d \omega }{d \alpha }$$

$$r \int_{0}^{\omega }\!\! \omega \, d \omega = g \int_{0}^{\alpha }\!\! \cos \alpha \, d \alpha$$

$$\omega = \sqrt {2 g \, \mathrm {sen} \, \alpha /r}$$

Luego sustituyendo en la ecuación para Y, obtienes que $F = 3 m g \, \mathrm {sen} \, \alpha$.


Saludos,

$\mathcal A \ell$

Muchas gracias, creo que ya lo tengo.

Saludos!

[Al2000]

Re: Ejercicio dinámica y movimiento circular

Fíjate que ese problema seguramente está pensado para resolverlo por conservación de la energía, tal cual te lo planteó angel relativamente:

--- Energía cinética = disminución de la energía potencial ==> $\dst \frac 1 2 m (\omega r)^2 = m g r \, \mathrm {sen} \, \alpha$

Esto será especialmente cierto si estás viendo cálculo en paralelo y no has dado mucho de ecuaciones diferenciales. Lamentablemente no tengo a la mano el libro de Alonso-Finn para chequear cuál es el tema 7.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[NikolaT]

Re: Ejercicio dinámica y movimiento circular

Hola, el capítulo 7 es dinámica y el 8 es trabajo y energía, por eso no intenté solucionarlo de esa forma, pensé que tenía conocimientos suficientes para resolverlo sólo por dinámica.

Saludos!

[Everett IV]

Re: Ejercicio dinámica y movimiento circular

Sobre el hilo que te cerraron de distancia y velocidad, no te lo voy a resolver, pero si espacio recorrido (s), Velocidad media (v) y tiempo empleado (t), cumplen que v=s/t. Despejando en una ecuación, la t pasa multiplicando s=v*t, y la v diviendo t=s/v. Con estas tres fórmulas puedes resolver todos los apartados