Olimpiada Plano inclinado y fuerza inclinada

[janokoev]

Buenos días, estoy haciendo un ejercicio y, tras intentar hacerlo de varias formas, no llego a resultados lógicos. ¿Podríais ayudarme?
Un cuerpo de 2 kg parte del reposo y es arrastrado sobre un plano inclinado 30° mediante una fuerza que forma un ángulo de 30° respecto al plano inclinado. Si no hay rozamiento y el módulo de la fuerza es F=2t, calcula:
A)El instante en que se produce la pérdida de contacto de la masa con el plano inclinado
B)La velocidad de la masa en ese instante.

Ya he hecho el diagrama de fuerzas, pero al hacer cálculos no sé por dónde tirar.

[angel relativamente]

Re: Plano inclinada y fuerza inclinada

La pérdida de contacto será cuando la normal se anule, esto es, cuando la componente de la fuerza aplicada perpendicular al plano sea igual a la componente perpendicular del peso. ¿Qué no te sale?

Saludos,

[The Higgs Particle]

Re: Plano inclinada y fuerza inclinada

Yo interpreto el enunciado según este esquema:

A) El instante en el que la masa ya no toca el plano inclinado es porque $F_y > P_y$. Y esto va a comenzar a suceder cuando $\vec{F_y} + \vec{P_y} = 0 \to F_y = P_y$.

Al mismo tiempo, podemos ver que $F_y = F \cdot sin(30 \º)$; $P_y = P \cdot cos (30 \º)$. Por lo tanto:

$F_y = P_y \to F \cdot sin(30 \º) = P\cdot cos (30 \º) \to t = \frac{P}{2 tan(30 \º)} \to t = \frac{2 \cdot 9,8}{2 \cdot tan (30 \º)}$

$\boxed{t = 17 (s)}$

B) Como la aceleración no es constante, vas a tener que integrar. Pero hemos de tener en cuenta que, inicialmente, $P_x > F_x$, por lo que aquí el sentido de movimiento va a ser la izquierda (va a ir cayendo). Sin embargo, $F_x$ va a ir aumentando, de forma que la velocidad del cuerpo va a ser cero (cuando $F_x = P_x$) y, a partir de aquí, va a seguir aumentando (el cuerpo va a ir subiendo).

Calculamos, por lo tanto, el instante en el que $F_x = P_x$:
$F \cdot cos(x) = P \cdot sin (x) \to t = \frac{P \cdot tan(x)}{2} = 5,7 (s)$

Aquí, la velocidad es cero y va a seguir aumentando hasta los 17 segundos en los que deja de estar en contacto con el plano. De la definición de aceleración, tenemos que $a = \frac{dv}{dt}$ (prescindo de la notación vectorial porque la dirección es la misma). Por lo tanto, la velocidad es: $dv(t) = a \cdot dt$.

Por otra parte, para calcular la velocidad en un instante determinado necesitamos la aceleración: $F_x - P_x = m \cdot a \to a = \frac{2}{m} \cdot t - g$. Por lo tanto:


$\int_{5,7}^{17} v(t) = \int_{5,7}^{17} (\frac {2}{m} \cdot t - g)dt \to v_{17} - v_{5,7} =$ $\frac{2}{m} \cdot \int_{5,7}^{17} t \cdot dt - g \cdot \int dt \to v_{17} = \frac{2}{m} \cdot \frac{1}{2} \cdot [t^2]^{17}_{5,7} - g \cdot [t]^{17}_{5,7}$

$v_{17} = 17,52 (m/s)$

- - - Actualizado - - -

Vaya, veo que Ángel se me ha adelantado. Perdona

[Alriga]

Re: Plano inclinada y fuerza inclinada

... Un cuerpo de 2 kg parte del reposo y es arrastrado sobre un plano inclinado 30° mediante una fuerza que forma un ángulo de 30° respecto al plano inclinado ...

Deberías especificar si los 30º de la fuerza son en sentido "cuesta arriba" o "cuesta abajo" del plano inclinado.
Saludos.

[janokoev]

Re: Plano inclinada y fuerza inclinada

Ahora entiendo porqué no me daba, había igualado F(y) con el peso y no con la normal.
A parte, creo que el segundo apartado lo dejaré en blanco porque aún estoy en primero y no sé integrar, solo sé derivar.

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Yo interpreto el enunciado según este esquema:

[ATTACH=CONFIG]10290[/ATTACH]
A) El instante en el que la masa ya no toca el plano inclinado es porque $F_y > P_y$. Y esto va a comenzar a suceder cuando $\vec{F_y} + \vec{P_y} = 0 \to F_y = P_y$.

Al mismo tiempo, podemos ver que $F_y = F \cdot sin(30 \º)$; $P_y = P \cdot cos (30 \º)$. Por lo tanto:

$F_y = P_y \to F \cdot sin(30 \º) = P\cdot cos (30 \º) \to t = \frac{P}{2 tan(30 \º)} \to t = \frac{2 \cdot 9,8}{2 \cdot tan (30 \º)}$

$\boxed{t = 17 (s)}$

B) Como la aceleración no es constante, vas a tener que integrar. Pero hemos de tener en cuenta que, inicialmente, $P_x > F_x$, por lo que aquí el sentido de movimiento va a ser la izquierda (va a ir cayendo). Sin embargo, $F_x$ va a ir aumentando, de forma que la velocidad del cuerpo va a ser cero (cuando $F_x = P_x$) y, a partir de aquí, va a seguir aumentando (el cuerpo va a ir subiendo).

Calculamos, por lo tanto, el instante en el que $F_x = P_x$:
$F \cdot cos(x) = P \cdot sin (x) \to t = \frac{P \cdot tan(x)}{2} = 5,7 (s)$

Aquí, la velocidad es cero y va a seguir aumentando hasta los 17 segundos en los que deja de estar en contacto con el plano. De la definición de aceleración, tenemos que $a = \frac{dv}{dt}$ (prescindo de la notación vectorial porque la dirección es la misma). Por lo tanto, la velocidad es: $dv(t) = a \cdot dt$.

Por otra parte, para calcular la velocidad en un instante determinado necesitamos la aceleración: $F_x - P_x = m \cdot a \to a = \frac{2}{m} \cdot t - g$. Por lo tanto:


$\int_{5,7}^{17} v(t) = \int_{5,7}^{17} (\frac {2}{m} \cdot t - g)dt \to v_{17} - v_{5,7} =$ $\frac{2}{m} \cdot \int_{5,7}^{17} t \cdot dt - g \cdot \int dt \to v_{17} = \frac{2}{m} \cdot \frac{1}{2} \cdot [t^2]^{17}_{5,7} - g \cdot [t]^{17}_{5,7}$

$v_{17} = 17,52 (m/s)$

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Vaya, veo que Ángel se me ha adelantado. Perdona

Una pregunta, ¿cómo el aumento de aceleración es constante (?) podría sacar media de aceleración inicial y final y calcular la velocidad respecto a esa aceleración media?

[The Higgs Particle]

Re: Plano inclinada y fuerza inclinada

Una pregunta, ¿cómo el aumento de aceleración es constante (?) podría sacar media de aceleración inicial y final y calcular la velocidad respecto a esa aceleración media?

Sí. Ocurre lo mismo con el Teorema de Merton en cuanto al espacio recorrido (en nuestro caso tendríamos aceleración - tiempo, y no velocidad - tiempo). Ambos son consecuencia del teorema del valor medio (lo darás en 2º de bachillerato).
En cualquier caso, un científico del siglo XIV (recordemos que Newton es del XVII) llamado Oresme lo demostró gráficamente (prueba a calcular las áreas coloreadas):

Como la aceleración aumenta linealmente con el tiempo, vamos a tener que la aceleración media es justo la que hay en la mitad de tiempo del intervalo total ($a_m = \frac{a(t_f) + a(t_0)}{2} = a(t/2)$).

Por lo tanto, tenemos que calcular el punto intermedio de nuestro intervalo de tiempo,$[5,7; 17]$, que es: $t/2 = 11,35 (s)$.

¿Y cuál es la aceleración en ese momento? $a_m = a(t/2) = \frac{2}{m} \cdot t/2 - g = \frac{2}{2} \cdot 11,35 - 9,8 \to a_m = 1,55 (m/s^2)$.

Aplicando ahora el teorema de Merton: $v = a_m \cdot t$ (donde $t$ es la duración de nuestro intervarlo: $t = 17 - 5,7 = 11,3 (s)$). Y de aquí: $v = a_m \cdot t = 1,55 \cdot 11,3 \to$ $\boxed{v = 17,52 (m/s)}$

[Richard R Richard]

Re: Plano inclinada y fuerza inclinada

Siempre recomiendo a aquel que todavia no sabe integrar, que puede calcular la velocidad evitando la integral, sabiendo que el resultado numerico sera igual al area bajo la curva del grafico aceleración en funcion del tiempo.

graficas $a=\dfrac{2\cdot t}{m}-g$

Quedara un trapecio, definido en la parte superior por la curva graficada, en la parte inferior el eje tiempo, y los laterales seran segmentos verticales ubicados en los tiempos inicial y final. Cuando calcules su area respetando las unidades esa area representara la velocidad.

corregiria una errata de la ecuacion



$v_{17}=\int_{5,7}^{17} a(t) \dd t= \int_{5,7}^{17} (\frac {2}{m} \cdot t - g)dt \to v_{17} - v_{5,7} \dd t= \frac{2}{m} \cdot \int_{5,7}^{17} t \cdot dt - g \cdot \int dt \to v_{17} = \frac{2}{m} \cdot ...<br />$


epa me han ganado en tiempo

Saludos

[janokoev]

Re: Plano inclinada y fuerza inclinada

Sí. Ocurre lo mismo con el Teorema de Merton en cuanto al espacio recorrido (en nuestro caso tendríamos aceleración - tiempo, y no velocidad - tiempo). Ambos son consecuencia del teorema del valor medio (lo darás en 2º de bachillerato).
En cualquier caso, un científico del siglo XIV (recordemos que Newton es del XVII) llamado Oresme lo demostró gráficamente (prueba a calcular las áreas coloreadas):

[ATTACH=CONFIG]10293[/ATTACH]

Como la aceleración aumenta linealmente con el tiempo, vamos a tener que la aceleración media es justo la que hay en la mitad de tiempo del intervalo total ($a_m = \frac{a(t_f) + a(t_0)}{2} = a(t/2)$).

Por lo tanto, tenemos que calcular el punto intermedio de nuestro intervalo de tiempo,$[5,7; 17]$, que es: $t/2 = 11,35 (s)$.

¿Y cuál es la aceleración en ese momento? $a_m = a(t/2) = \frac{2}{m} \cdot t/2 - g = \frac{2}{2} \cdot 11,35 - 9,8 \to a_m = 1,55 (m/s^2)$.

Aplicando ahora el teorema de Merton: $v = a_m \cdot t$ (donde $t$ es la duración de nuestro intervarlo: $t = 17 - 5,7 = 11,3 (s)$). Y de aquí: $v = a_m \cdot t = 1,55 \cdot 11,3 \to$ $\boxed{v = 17,52 (m/s)}$

Creo que te has equivocado, al igualar las fuerzas has puesto velocidad cuando sería aceleración, además, la aceleración negativa también importa para la velocidad final del movimiento.
A mi me da así:
Fx-mgsina=ma
0-2×9'81×sin30=2a
a(0)=-4'905 m/s^2

2×17×sin30-2×9'81sin30=2a
a=17×sin30-9'81sin30
a(17)=3'595 m/s^2

a(m)=(3'595-4'905)/2
a(m)=-0'655 m/s^2

v=-0'655×17=-11'135 m/s

[The Higgs Particle]

Re: Plano inclinada y fuerza inclinada

No entiendo lo que estás haciendo con las componentes OY. Eso te da el momento en el que la masa va a dejar de estar en contacto con la superficie del plano inclinado

- - - Actualizado - - -

Supongo que te refieres al eje OX. En ese caso, tienes razón. Pero es más complicado de lo que tú pones, porque la aceleración con la que cae no es constante.

Al mismo tiempo, me he dado cuenta de que para calculas las aceleraciones he omitido los senos y coseno. Me pillas en un mal momento: en cuanto pueda, lo reviso, pero creo que es esto lo que sale:

[janokoev]

Re: Plano inclinada y fuerza inclinada

No entiendo lo que estás haciendo con las componentes OY. Eso te da el momento en el que la masa va a dejar de estar en contacto con la superficie del plano inclinado

- - - Actualizado - - -

Supongo que te refieres al eje OX. En ese caso, tienes razón. Pero es más complicado de lo que tú pones, porque la aceleración con la que cae no es constante.

Al mismo tiempo, me he dado cuenta de que para calculas las aceleraciones he omitido los senos y coseno. Me pillas en un mal momento: en cuanto pueda, lo reviso, pero creo que es esto lo que sale.

Sí, cuando puedas, y lo de y ha sido un fallo mío, en la libreta consideraba x. Además, creo que el incremento de aceleración es constante, pero ahora me he dado cuenta de un error, he confundido seno y coseno en F, pero por un error de visión espacial. Y ahora veo y creo que por leer rápido lo que has dicho no lo he interpretado bien, siento la rallada, ahora sí que me da como tú tienes.

[The Higgs Particle]

Re: Plano inclinada y fuerza inclinada

Lo que he subido creo que está bien. Pero ahora te explico.


1. Velocidad de caída (para el intervalo de tiempo $[0; 5,2)$)

Lo primero que he puesto en la imagen es el cálculo de la velocidad cuando la aceleración se hace cero, que sucede al ser $F_x = P_x$ (es decir, la velocidad que lleva cuando va a empezar a subir). Como no te van las integrales, puedes probar igualmente el truco de la aceleración media.

Primero calculo la expresión de la aceleración (en función del tiempo) mientras cae: $P_x - F_x = m \cdot a_1 \to a_1 = g \cdot sin(\alpha) - \frac{2 \cdot cos(\alpha)}{m} \cdot t (m/s^2)$.

Como te expliqué antes, puesto que por definición, $a = \frac{dv}{dt} \to dv = a \cdot dt$. Por lo tanto, la velocidad que lleva cuando la aceleración se hace cero (en $t= 5,2 (s)$) es:

$\int_0^{5,2} v(t) = \int_0^{5,2} (g \cdot sin(\alpha) - \frac{2 \cdot cos(\alpha)}{m} \cdot t )dt$ $\to v_{5,2} - v_0 = g \cdot sin(\alpha) \cdot \int_0^{5,2}dt - \frac{2 \cdot cos(\alpha)}{m} \cdot \int_0^{5,2} t \cdot dt \to$ $v_{5,2} = g \cdot sin(\alpha) \cdot [t]^{5,2}_0 - \frac{cos(\alpha)}{m} \cdot [t^2]^{5,2}_0$

Por lo tanto,

$\boxed{v_{5,2} = 13,77 (m/s)}$

Me sale con signo positivo porque es del mismo sentido que $a_1$; es decir, el sentido de caída. Pero en nuestro sistema de referencia es de signo negativo.
Por lo tanto,

$\boxed{v_{5,2} = -13,77 (m/s)}$

2. Velocidad de subida (para el intervalo de tiempo $[5,2; 17]$)

El resto es lo mismo que lo que puse en el mensaje anterior. Ahora la aceleración, $a_2$, se obtiene de: $F_x - P_x = m \cdot a_2 \to a_2 = \frac{2t \cdot cos(\alpha)}{m} - g \cdot sin(\alpha) (m/s^2)$.

Y la velocidad cuando $F_y = P_y$; es decir, en $t=17$, es:

$\int_{5,2}^{17} v(t)= \int_{5.2}^{17} a(t) \cdot dt = \int_{5,2}^{17} (\frac{2t \cdot cos(\alpha)}{m} - g \cdot sin(\alpha))dt$ $\to v_{17} - v_{5,2} = -g \cdot sin(\alpha) \cdot \int_{5,2}^{17} dt + \frac{2 \cdot cos(\alpha)}{m} \cdot \int_{5,2}^{17} t \cdot dt$ $\to v_{17} = v_{5,2} - g \cdot sin(\alpha) \cdot [t]^{17}_{5,2} + \frac{cos(\alpha)}{m} \cdot [t^2]^{17}_{5,2}$

Y operando sale

$\boxed{v_{17} = 41,84 (m/s)}$