1r ciclo Problema Velocidad

[The Higgs Particle]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:



Tengo aquí el esquema que he hecho sobre la situación que describe:



Además, $v = \frac{dy}{dt} = 5 (m/s) \to v = cte.$
Y la velocidad de la balsa es $v_x = v_y \cdot cos (\alpha)$


He visto en el solucionario que la velocidad de la balsa no sólo no permanece constante, sino que aumenta a medida que se acerca a la orilla.

¿Cómo es posible que si la velocidad de la barca, que es una componente de la velocidad del motor ($v_x$, en concreto), sea incluso mayor que la propia velocidad del motor?

[angel relativamente]

Re: Problema Velocidad

Estoy en un tren y no tengo mucha cobertura ni tiempo, pero sin pensarlo mucho creo que tengo respuesta a tus preguntas. 1. La velocidad de la balsa no es constante porque depende del ángulo que está variando. 2. Si ignoras el rozamiento con el mar, la velocidad de la barca no puede disminuir. El motor le hace una fuerza que lo único que puede hacer es acelerarla pues tiene una componente no nula en el eje x y en el sentido de avance de la barca. Piénsatelo a ver si lo sacas con eso

[felmon38]

Re: Problema Velocidad

The Higgs..., la velocidad de la barca la puedes sacar derivando la relación entre su distancia a la orilla x, con la longitud de la cuerda y :

X² = y² - 6²

Saludos

[Alriga]

Re: Problema Velocidad

Creo que es así:

$v_x =v \cos A$

$\tan A = \dfrac 6 x$

$v_x = \dfrac{v}{\sqrt{\tan^2 A+1}}=\dfrac{v}{\sqrt{\dfrac{6^2}{x^2}+1}}$

Solo queda sustituir x=40 m

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Problema Velocidad

$v_x = \dfrac{v}{\sqrt{\tan^2 A+1}}=\dfrac{v}{\sqrt{\dfrac{6^2}{x^2}+1}}$

De esta forma te sale lo mismo que me salió a mí, 4,95 m/s, pero es que en el solucionario pone que la velocidad es de 5,05 m/s. Y no entiendo cómo, por mucho que la acelere, puede llegar la balsa a tener una velocidad superior a la del motor.

[Alriga]

Re: Problema Velocidad

... pero es que en el solucionario pone que la velocidad es de 5,05 m/s...

¿Y no se te ocurre que el solucionario tiene todos los números para estar mal?

Si estudias la función $v_x (x) =\dfrac{v}{\sqrt{\dfrac{6^2}{x^2}+1}}$

Para, $x \rightarrow \infty \ ; \ v_x \rightarrow v \$ pues la cuerda está prácticamente en la dirección del eje x

Para $x \rightarrow 0 \ ; \ v_x \rightarrow 0 \$ pues la cuerda estira de forma perpendicular al agua.

Saludos,

[The Higgs Particle]

Re: Problema Velocidad

¿Y no se te ocurre que el solucionario tiene todos los números para estar mal?

Esto en realidad es un ejercicio de un examen de Ingeniería Mecánica, y el profesor ha dado esta la solución, por lo que me choca mucho que esté mal.



- - - Actualizado - - -

La cosa es la de antes, que no entiendo cómo puede salir mayor que 5

[Alriga]

Re: Problema Velocidad

... el profesor ha dado esta la solución, por lo que me choca mucho que esté mal.

Tiene que estar mal:

$x^2+6^2=y^2$

(Cuidado, "y" es la distancia barca-motor, no la distancia en vertical) Derivando:

$2 x v_x =2 y v_y$

$v_x =\dfrac y x v_y= \dfrac{\sqrt{x^2 +6^2}}{x} v_y =\sqrt{1+\dfrac{6^2}{x^2}} \ v_y$

$v_x =5 \cdot \sqrt{1+\dfrac{6^2}{x^2}}$

Pero para $x \rightarrow 0$ resulta que $v_x \rightarrow \infty$, lo que es absurdo. No es absurdo, ver explicación de arivasm en post#11

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Problema Velocidad

No entiendo por qué sale mayor que 5 m/s (de hecho, me llegó a salir el mismo resultado que a ti, 4,95), pero tampoco entiendo dónde está el fallo:

$y (t) = 5 t (m)$
$x(y) = \sqrt{y^2 - 6^2} \to x(t) = \sqrt{25 t^2 - 36}$

Por lo tanto: $\frac{d[x(t)]}{dt} = \frac{25t}{\sqrt{25 t^2 - 36}}$

Entonces, para que $x(t) = 40 \to t = 8,09 (s)$. Y sustituyendo en la $v_x \to v_x = 5,05 (m/s)$

[Jaime Rudas]

Re: Problema Velocidad

No entiendo por qué sale mayor que 5 m/s

Quizás el siguiente razonamiento nos indique por qué es mayor que 5: en el momento inicial X=40 y Y=40,44 m. Cuando la balsa llega a la orilla X=0 y Y=6 m. Eso significa que, en el mismo tiempo, X recorrió 40 metros mientras que Y solo recorrió 34,44, luego la velocidad media de X es mayor que la de Y.

[arivasm]

Re: Problema Velocidad

Creo que es así:

$v_x =v \cos A$

$\tan A = \dfrac 6 x$

$v_x = \dfrac{v}{\sqrt{\tan^2 A+1}}=\dfrac{v}{\sqrt{\dfrac{6^2}{x^2}+1}}$

Solo queda sustituir x=40 m

Saludos.

El error de este planteamiento está en que presupone que la velocidad de la balsa tiene el sentido de la cuerda, lo que no es cierto. La balsa sólo tiene velocidad horizontal.

El planteamiento que hace el profesor es el correcto. Con respecto a la pregunta de THP sobre cómo es posible que la velocidad sea mayor que la de la cuerda es relativamente sencillo de responder y está implícito en lo escrito en la solución del profesor: por el teorema de Pitágoras, en todo instante el cuadrado de la distancia horizontal (cateto) disminuye al mismo ritmo que el cuadrado de la distancia al motor (hipotenusa). De esa manera tenemos que $\dst v_x=v\frac{\sqrt{x^2+6^2}}{x}=v\sqrt{1+\frac{6^2}{x^2}}$.

Conceptualmente lo entendemos mejor si en vez de 6 m ponemos un número enorme (la barca es arrastrada desde lo alto del cielo), pero sin despegarse del agua! Pongamos cifras: imaginemos que la barca está a 40 m de la orilla y el motor a 5000 m de altura, de manera que la distancia entre barca y motor es de 5000,16 m. Está claro que en cuanto la barca haya llegado a la orilla, tras recorrer esos 40 m, la cuerda sólo se habrá recogido esos 0,16 m!

[Alriga]

Re: Problema Velocidad

Pues debo estar muy oxidado, porque no veo como salvar el infinito en esta expresión

$\dst v_x=v\sqrt{1+\frac{6^2}{x^2}}$

Cuando x tiende a cero, saludos.

[arivasm]

Re: Problema Velocidad

Por supuesto que tiende a infinito: en cuanto la cuerda está estrictamente vertical no es posible desplazar la barca horizontalmente tirando de ella.

Yo creo que lo que os está causando problemas es la pregunta de si se trata de una situación realizable o no. Evidentemente a medida que x tiende a 0 inevitablemente llegará un punto en el que la cuerda, en una situación real, acabará por izar la barca fuera del agua. De todos modos, el enunciado tiene la prudencia de situar el cálculo en un punto suficientemente alejado.

[Alriga]

Re: Problema Velocidad

... a medida que x tiende a 0 inevitablemente llegará un punto en el que la cuerda, en una situación real, acabará por izar la barca fuera del agua...

Eso me convence pues salva el infinito, y he intentado plantear las ecuaciones de la dinámica para calcular cuando la componente vertical de la tensión de la cuerda será superior al peso, pero no me aclaro, saludos.

[arivasm]

Re: Problema Velocidad

Partamos de que la velocidad de la barca satisface $\dst v_x = v \sqrt{1+\frac{h^2}{x^2}}$, donde por generalidad $h=6\,\rm m$ es la altura del motor sobre la barca y $v=5\,\rm m/s$ es la velocidad a la que se acorta la cuerda. Derivando respecto del tiempo y teniendo en cuenta que $\dst\frac{\dd x}{\dd t}=v_x$ tenemos que $\dst a_x=-v^2\frac{h^2}{x^3}$ (por supuesto, el signo - simplemente indica que está dirigida hacia el origen). Por tanto, la componente horizontal de la tensión de la cuerda será, si se puede prescindir de la fricción contra el agua, $\dst T_x=-mv^2\frac{h^2}{x^3}$. Si no se puede prescindir de la misma tendríamos que $\dst T_x=-mv^2\frac{h^2}{x^3}-F_r(v_x)$ donde he explicitado que el término de fricción contra el agua dependerá de la velocidad de la barca. Por sencillez, prescindiré de este último término.

Si admitimos que la cuerda es inextensible, las componentes horizontal y vertical de la tensión de la cuerda se relacionan mediante $\dst \frac{T_y}{T_x}=-\frac{h}{x}$, de donde $\dst T_y=mv^2\frac{h^3}{x^4}$.


Edito: el comienzo del párrafo siguiente es incorrecto, como se señala más adelante en el hilo. En consecuencia, lo que sigue debe ser modificado.

La barca se izará en cuanto la componente vertical de la tensión supere el peso aparente de ésta, que podemos expresar como $m_{ap}g$. En consecuencia, el punto de "despegue" será aquél en el que se cumple que $\dst m_{ap}g=mv^2\frac{h^3}{x^4}$. Es decir, si se puede prescindir de la fricción contra el agua (y recordemos que ésta aumenta la tensión de la cuerda, con lo que la condición siguiente se producirá para un x mayor) la barca será izada fuera del agua en $\dst x=\left(\frac{m}{m_{ap}}\,\frac{v^2h^3}{g}\right)^{1/4}$

Con los datos del ejercicio la condición de "despegue" se produce (como mínimo) en $\dst x=\left(\frac{m}{m_{ap}}\right)^{1/4}\,7,07\,\rm m$. Por tanto, nuestro amigo podría reclamarle al profesor que el ejercicio es irreal si x=40 m, de manera que el peso aparente fuese unas 1020 veces más pequeño que el peso real de la barca, cosa que, me temo mucho, no es precisamente demasiado real... ¡Lástima!