Secundaria MRU en el plano

[franco_c2]

Un autobús va por la carretera con velocidad ${v}_{1}=16 m/s$. Un hombre se encuentra a una distancia $a=60 m$ de la carretera y $b=400 m$ del autobús. ¿En qué dirección debe correr el hombre para llegar a un cierto punto de la carretera justamente con el autobús o antes de éste? El hombre puede correr con una velocidad ${v}_{2}=4 m/s$

Suponiendo que el autobús se dirige hacia el norte por el eje $y$, y el hombre se encuentra en el primer cuadrante, los vectores serían:

$\vec{{v}_{1}}=\left(0;16\right)$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] )

$\vec{{r}_{1}}=\left(0:0\right)$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] )

$\vec{{r}_{e}}=\left(0:{y}_{e}\right)$ punto de encuentro

${t}_{e}$ tiempo de encuentro

entonces

$\vec{{r}_{e}}=\vec{{v}_{1}}*{t}_{e}$ , $\vec{{r}_{e}}=\vec{{v}_{2}}*{t}_{e}+\vec{{r}_{2}}$

igualo $\vec{{v}_{1}}*{t}_{e}=\vec{{v}_{2}}*{t}_{e}+\vec{{r}_{2}} \Rightarrow \left(\vec{{v}_{1}}-\vec{{v}_{2}}\right)*{t}_{e}=\vec{{r}_{2}}$ $\Rightarrow \left(-4\cos\alpha;16-4\sin\alpha\right)*{t}_{e}=\left(60;395,5\right)$

finalmente me queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (el tiempo y el ángulo) el cuál me da dos valores positivos para ${t}_{e}$ qué hago mal?

[Alriga]

Re: MRU en el plano

¿En qué dirección debe correr el hombre para a un cierto punto de la carretera justamente con el autobús o antes de éste?

Perdona, pero no entiendo esta frase. Saludos.

[franco_c2]

Re: MRU en el plano

me comí una palabra. ahora se entiende? se busca la dirección hacia donde el hombre tiene que correr para interceptar al autobús

[Alriga]

Re: MRU en el plano

El autobus sale del origen por el eje x y el hombre está en la posición (395.5 , -60)

$x_a =16 t$

$y_a =0$

$x_h = 395.5-4 \cos A \cdot t$

$y_h = -60+4 \sin A \cdot t$

Igualando $x_a=x_h$

$y_a=y_h$

Recordando que $\cos A=\sqrt{1-\sin^{2} A}$

Se obtiene la ecuación

$395.5-4 \sqrt{1-(\dfrac{15}{t})^2} \cdot t =16 t$

Cuya solución es $t=21.031 \ s$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$x_a=x_h=336.5 \cdot m$

Saludos.

[arivasm]

Re: MRU en el plano

Si no me equivoco, en uno de los pasos de la solución del sistema se eleva al cuadrado (para deshacerse de las funciones trigonométricas). Como consecuencia se está introduciendo nuevas soluciones que podrían no serlo del sistema original. En concreto, yo encuentro t=394 s y t=45 s. Por tanto, no queda más remedio que verificar si satisfacen o no el sistema original, teniendo en cuenta que el ángulo correspondiente a cada una deberá pertenecer al 2º o 3º cuadrante. Al hacerlo yo encuentro que sólo la primera de las escritas satisface el sistema original (el ángulo correspondiente es de 92º).

- - - Actualizado - - -

Alriga: la carretera coincide con el eje Y.

- - - Actualizado - - -

Aprovecho para comentar que el procedimiento de Alriga tampoco está exento de la dualidad de resultados pues falta un $\pm$ en la raíz cuadrada. Ahora bien, esto último puede solventarse si se tiene en cuenta que como el hombre debe aproximarse al eje Y debe cumplirse que $\cos\alpha<0$, de manera que si se usa $\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ sólo tendremos una solución.

[franco_c2]

Re: MRU en el plano

gracias por contestar muchachos. Decidí revisar las dos soluciones que me daba el sistema.

$-4\cos\alpha*t=60$ ecuación 1
$16t-4\sin\alpha*t=395.5$ ecuación 2

elevando al cuadrado ambos miembros de ambas ecuaciones para después sumarlas y así eliminar las funciones trigonométricas me queda

${t}^{2}({16}^{2}-16)-(2*16*395.5)t+{60}^{2}+{395.5}^{2}=0$ lo que me da ${t}_{1}=21s$ y ${t}_{2}=31.7s$ (arivasm tal vez cometiste un error en la resolución del sistema)

introduciendo ${t}_{1}$ en la ecuación 1 me puede dar dos ángulos (2º o 3º cuadrante ya que el coseno es negativo) pero para no tener que comprobar cuál es el correcto, solo me quedo con el valor del coseno y reemplazo en ${v}_{h}=\left(4\cos\alpha;4\sin\alpha\right)$. Para el valor del seno, de manera similar, reemplazo el tiempo en la ecuación 2, entonces me queda ${v}_{h}=\left(-2.86;-2.8\right)$ esto es correcto ya que verifiqué y sí interceptan.

Hice algo similar con ${t}_{2}=31.7s$ y me dio ${v}_{h}=\left(-1.89;3.53\right)$ lo que para mi sorpresa también interceptan . Es decir hay dos soluciones. Los ángulos son 225º y 118º

[Al2000]

Re: MRU en el plano

Yo conseguí dos soluciones y descarté una pues no satisface las condiciones indicadas. Mi aproximación fue construir un triángulo de lados $v_1 t,\,\, b,\,\, v_2 t$ con un ángulo $\alpha = \arcsin (a/b)$ entre $v_1 t$ y $b$, aplicar la ley del coseno para conseguir el tiempo y la ley del seno para el ángulo. Mi resultado, luego de descartar la solución espuria, es $t = 31.7\,\mathrm{s}$ y $\beta = 28.2\°$ con la dirección de la carretera.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: MRU en el plano

Yo conseguí dos soluciones y descarté una pues no satisface las condiciones indicadas

Si el hombre corriese perpendicular a la carretera llegaría a ella en
t = 60/4 = 15 s
En ese mismo tiempo el autobús habría recorrido
x = 16 · 15 = 240m < 395.5 m
De aquí deduzco que debe haber dos soluciones, como había apuntado arivasm

$x_h = 395.5 \pm 4 \cos A \cdot t$

$395.5 \pm 4 \sqrt{1-(\dfrac{15}{t})^2} \cdot t =16 \ t$

-Una corriendo “inclinado” hacia el autobús, que es la solución t=21.03 s (ángulo A=45.5º) en la que el autobús ha recorrido 336.5 m
240 m < 336.5 m < 395.5 m
-Y otra solución en la que el hombre corre “inclinado” a favor del autobús, alcanzándolo en t=31.7 s (ángulo A=28.2º) cuando el autobús ha recorrido 507.2 m > 395.5 m




Saludos.

[Al2000]

Re: MRU en el plano

Tienes toda la razón, descarté la segunda solución cuando no satisfizo el triángulo, sin darme cuenta de que al descansar en el resultado del software sin detenerme a analizar el segundo ángulo, caí en la vieja trampa del ángulo calculado en el cuadrante incorrecto.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[carmelo]

Re: MRU en el plano

Hola a todos.

No me detuve en las soluciones dadas. Pero creo que en los casos extremos el hombre llega "a tempo" en las direcciones intermedias llega antes. Por lo tanto hay infinitas soluciones con tal que la dirección esté comprendida entre los dos valores límites.

Saludos
Carmelo

[franco_c2]

MRU en el plano (2) Lugar geométrico

Este problema es una continuación del problema del hilo anterior ---> http://forum.lawebdefisica.com/threa...RU-en-el-plano
si no quieren entrar al link les dejo aquí en color el problema inicial

[FONT=verdana]Un autobús va por la carretera con velocidad . Un hombre se encuentra a una distancia de la carretera y del autobús. ¿En qué dirección debe correr el hombre para llegar a un cierto punto de la carretera justamente con el autobús o antes de éste? El hombre puede correr con una velocidad [/FONT]

--------------------
El punto que sigue es este:

En un momento dado el autobús se encuentra en el punto A y va por la carretera recta AE. Hallar el lugar geométrico de los puntos donde el hombre puede encontrarse para alcanzar el autobús.


Las velocidades son las mismas (o rapideces) al igual que la posición del autobús (en el origen). Las coordenadas de donde puede estar el hombre son $(x,y)$. He intentado encontrar una relación directa entre $x$ e $y$ pero aún no lo he logrado. Llegué hasta las ecuaciones
$x=-4t\cos\alpha$
$y=16t-4t\sin\alpha$

pero me quedan dos parámetros

Intuitivamente, suponiendo que el autobús va en dirección del eje $+y$, creo que los puntos donde puede estar el hombre están dentro de una parábola con vértice en el origen que se abre hacia arriba. Según mi intuición..

[franco_c2]

MRU en el plano - Lugar geométrico

[FONT=verdana]a) Un autobús va por la carretera con velocidad 16 m/s. Un hombre se encuentra a una distancia a=60 m de la carretera y b=400 m del autobús. ¿En qué dirección debe correr el hombre para llegar a un cierto punto de la carretera justamente con el autobús o antes de éste? El hombre puede correr con una velocidad de 4 m/s.[/FONT]

[FONT=verdana]Éste inciso ya está resuelto. [/FONT]

[FONT=verdana]Tengo dificultad en el siguiente inciso[/FONT]

[FONT=verdana]b) En un momento dado el autobús se encuentra en el punto A y va por la carretera recta AE. Hallar el lugar geométrico de los puntos donde el hombre puede encontrarse para alcanzar el autobús.[/FONT]


[FONT=verdana]Intuyo que el lugar geométrico puede ser (tomando al origen como el punto A y la dirección +y del autobús) la región que está dentro de una parábola con vértice en el origen que se abre hacia arriba. O algo parecido a eso.[/FONT]

[Alriga]

Re: MRU en el plano - Lugar geométrico

Yo creo que puede ser así:
Supongo que el autobús parte del origen y corre por el eje "x"
El hombre está situado en un punto (x, y)
Para que el hombre pueda llegar al autobús corriendo a 4 m/s debe ser capaz de recorrer la distancia "y" en el mismo tiempo en el autobús recorre la distancia "x" a 16 m/s

$x_a=16 \cdot t$

$y_h=4 \cdot t$

$y_h =x_a$

$y=\dfrac 1 4 \cdot x$

Por lo tanto el lugar geométrico estará en los puntos del plano (x, y) que cumplan:

$x>0$ y además $|y| \leq \dfrac 1 4 \cdot x$

Saludos

EDITADO.

La solución que he dado arriba es aproximada, pero no es correcta.
Supongamos que el autobús ha llegado a un punto del eje x,
$(v_a \cdot t, \ 0)$ Para que el hombre pueda llegar corriendo a ese punto ha debido partir de, como muy lejos una circunferencia de centro $(v_a \cdot t, \ 0)$ y radio $R=v_h \cdot t$

Arriba he supuesto que la recta con ángulo más abierto que une el origen con cualquier punto de la circunferencia, era la recta que va de (0, 0) a $(v_a \cdot t, \ v_h \cdot t)$
Pero hoy me he dado cuenta que existe otra recta con ángulo más abierto, la recta que pasa por el origen y es tangente a la circunferencia

Tengo un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es $v_a \cdot t$ y un cateto es el radio de la circunferencia $R=v_h \cdot t$

Para calcular el ángulo $\ \theta$ que forma la recta tangente a la circunferencia con el eje de abcisas, aplico el teorema del seno al mencionado triángulo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\sin \theta = \dfrac{v_h}{v_a}$

La pendiente de la recta, que es lo que buscamos es la

$\tan \theta=\dfrac{\dfrac{v_h}{v_a}}{\sqrt{1-\left (\dfrac{v_h}{v_a} \right )^2}}$

Sustituyendo valores:

$\tan \theta=\dfrac{1}{\sqrt{15}}=\dfrac{1}{3.873}>\dfrac 1 4$

El lugar geométrico buscado estará en los puntos del plano (x, y) que cumplan:

$x>0$ y además $|y| \leq \dfrac{1} {\sqrt{15}} \cdot x$

Los puntos más alejados posibles estarán justo en la recta $y=\dfrac{1} {\sqrt{15}} \cdot x$

Y desde allí para llegar justo a tiempo el hombre debe correr perpendicular a esa recta.

Saludos.

[Alriga]

Re: MRU en el plano (2) Lugar geométrico

Te he contestado aquí:

http://forum.lawebdefisica.com/threa...ico?p=156819#2

Saludos.

[franco_c2]

Re: MRU en el plano (2) Lugar geométrico

No puedo creer el despiste mio. Pensé haber creado un nuevo hilo y en realidad respondí aquí. Con razón no lo encontraba en el foro y lo hice de nuevo