Otras carreras Pequeñas oscilaciones

[Lulyzq]

Alguien me ayuda con este ejercicio? No tengo idea de cómo sacarlo parece un pendulo simple con un mas y eso me confunde :/, o quizás si tienen algún ejercicio parecido que me ayude a comprender este, me encuentro bastante perdida, sé que el punto de equilibrio es cuando la barra queda horizontal y que en pequeñas oscilaciones puedo tomar $\sin\theta=\theta$ y demás, trate de aplicar la 2da ley en donde esta la aceleración tangencial pero no llegue a nada.

[arivasm]

Re: Pequeñas oscilaciones

Una posibilidad es ésta: Escribe la expresión para la energía potencial en función del alargamiento $x$ del resorte, por ejemplo (quizá lo más sencillo sea hacerlo primero en función del ángulo y pasarla a la coordenada anterior). Yo, por ejemplo, lo escribo así: $U=-mgL\cos\theta+\frac{1}{2}kL^2\sin^2\theta=-mg\sqrt{L^2-x^2}+\frac{1}{2}kx^2$. A continuación encuentra la posición de equilibrio aplicando $\frac{\partial U}{\partial x}=0$ (o con los típicos razonamientos de equilibrio, que es quizá lo más directo en este caso). Yo encuentro que es $x_0=0$ (algo que es además muy evidente en este problema). Ten en cuenta que $\dst m\omega^2=\left(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}\right)_{x=x_0}$. Yo encuentro que $\dst\omega=\sqrt{\frac{k}{m}+\frac{g}{L}}$.

Si no lo puedes hacer de esa manera, debes buscar la expresión de la fuerza resultante en función de $x-x_0$ y quedarte con el primer término no nulo de $\dst\frac{F_x}{x-x_0}$ cuyo valor será $-m\omega^2$

Por supuesto, en todos estos cálculos, si no te gusta usar $x$ también podrías hacerlo con $y$ (donde lo más cómodo es tomar su origen en la posición de equilibrio).

[Breogan]

Re: Pequeñas oscilaciones

Hola:

Te doy otra posibilidad que consiste simplemente hacerlo por dinámica aplicando las leyes de Newton, tal y como seguramente ya viste con el péndulo simple.
Ambos procedimientos deben dar lo mismo, ya que son dos formas de expresar las mismas leyes.

Planteamos la ecuación vectorial de la 2º ley de Newton para la masa m:

$\dst \vec F = m \vec a$

Si consideramos la terna intrínseca podemos tomar dos versores coplanares con la trayectoria, que llamaremos $\hat t$ al versor tangente a la trayectoria y sentido positivo hacia la izquierda, y $\hat n$ al versor normal a la trayectoria y que apunta hacia el punto de agarre del hilo del péndulo.
Podemos expresar la fuerza y la aceleración de m en este sistema:

$\dst \vec F = F_n \ \hat n + F_t \ \hat t$

$\dst \vec a = a_n \ \hat n + a_t \ \hat t$

y la anterior ecuación vectorial queda:

$\dst F_n \ \hat n + F_t \ \hat t = m \ \left( a_n \ \hat n + a_t \ \hat t \right)$

De esta ultima surgen dos ecuaciones escalares:

$$\dst F_n = m \ a_n$$

$$\dst F_t = m \ a_t$$

La que nos interesa para este problema es la 2º, ya que relaciona el angulo y el tiempo.
Para hallar Ft debemos hacer el diagrama de cuerpo libre y proyectar todas las fuerzas sobre $\hat t$, escribo directamente Ft:

$\dst F_t = - m g sen \theta - F_r cos \theta$

La fuerza del resorte Fr (por trigonométria el incremento de longitud del resorte vale $\Delta l = l sen \theta$) vale:

$\dst F_r = k \Delta l = k l sen \theta$

por lo cual:

$\dst F_t = - m g sen \theta - k l sen \theta cos \theta$

$\dst F_t = - sen \theta \left( m g + k l cos \theta \right)$

La at en un movimiento circular vale:

$\dst a_t = l \ddot \theta$

Por lo cual la ecuación diferencial del péndulo reemplazando en (2) queda:

$\dst m l \ddot \theta + sen \theta \left( m g + k l cos \theta \right) = 0$

aplicamos la condición de pequeñas oscilaciones:

$\dst Si \ \theta \ \to \ 0 \ \Rightarrow sen \theta \ \to \ \theta \ y \ cos \theta \ \to \ 1$

entonces:

$\dst m l \ddot \theta + \theta \left( m g + k l \right) = 0$

dividiendo todo por m l:

$\dst \ddot \theta + \theta \left( \frac g l + \frac k m \right) = 0$

se puede ver que esta es similar a la ecuación diferencial de un pendulo simple para pequeñas oscilaciones, y por comparación con esta podemos decir que:

$\dst \omega^2 =\frac g l + \frac k m$

que es la misma ecuación que puso arivasm en su mensaje.

s.e.u.o.

Suerte

[Lulyzq]

Re: Pequeñas oscilaciones

Muchísimas gracias a ambos por tomarse el tiempo en responderme! Me ha quedado clarisimo, quería hacerla de esa manera exactamente cómo lo has hecho Breogan, me ha aclarado un montón, gracias! Ahora hice por sumatoria de torques y también he llegado a la ecuación