Secundaria ¿Fuerza no conservativa?

[Marcos Castillo]

Hola, tengo un ejercicio resuelto que me ha llamado la atención, porque se conserva el momento lineal pero no la energía cinética, y eso me ha dado qué pensar. Lo escribo:

"Un niño de masa m=30 kg que está corriendo a 4,0 m/s se sube en un trineo de M=50 kg, que inicialmente estaba en reposo sobre una superficie horizontal de hielo sin rozamiento, quedándose parado sobre el trineo. Después de deslizar durante unos instantes, el niño salta del trineo de tal forma que queda parado con respecto al suelo mientras que el trineo sigue avanzando. Calcule la energía total del sistema niño-trineo cuando el niño acaba de saltar sobre el trineo, y en el momento final cuando está en reposo en el suelo. Justifique razonadamente que estos valores sean iguales o diferentes.

Solución:

Momento en el que el niño se sube al trineo. Por conservación de la cantidad de movimiento la velocidad final del sistema niño-trineo es

$v_{1}=\displaystyle\frac{m}{m+M}v_{0}=1.5\;m/s$

Y la energía del sistema es igual a la energía cinética:

$T=\displaystyle\frac{1}{2}(m+M)\cdot{v_1^2}=90\;J$

La velocidad después de que salte del trineo viene determinada igualmente por la conservación del momento (teniendo en cuenta que la velocidad del niño es 0)

$v_{f}=\displaystyle\frac{m+M}{M}v_1=2.4\;m/s$

Por lo que la energía del sistema niño-trineo en la situación final es de

$T=\displaystyle\frac{1}{2}M\cdot{v_f^2}=144\;J$

El incremento en la energía viene dado por la fuerza ejercida por el niño para saltar del trineo de modo que se quede en reposo en la posición final."

La duda es la siguiente: no actúan fuerzas externas sobre el sistema niño-trineo, y esa es la condición para aplicar el principio de conservación del momento lineal; pero para que la energía mecánica se conserve hace falta una segunda condición: que todas las fuerzas internas sean conservativas. El salto del niño, ¿es una fuerza interna no conservativa?; ¿por qué?. He intentado crear un camino cerrado en el que interviniera esta fuerza, para demostrar que no es 0 el trabajo realizado cuando regresa al punto de partida, y no lo he conseguido.

Un saludo!

[arivasm]

Re: ¿Fuerza no conservativa?

Está claro que entre el niño y el trineo debe existir una fuerza de rozamiento. De no ser así, si en vez de un trineo fuese un bloque de hielo perfectamente deslizante (en lo que se refiere al niño) la película sería bien diferente.

Con respecto a lo que dices de regresar el sistema a la situación de partida el problema está en que se supone que las fuerzas en cuestión actúan en tiempos suficientemente pequeños como para despreciarlos (de lo contrario habría que considerar etapas aceleradas en el movimiento).

En definitiva, estás ante un problema de colisiones inelásticas, en el que no hay mejor demostración de que las fuerzas internas son no conservativas que la propia no conservación de la energía mecánica. En otras palabras: el enfoque que buscas equivale a tratar de matar una mosca de un cañonazo.

[Richard R Richard]

Re: ¿Fuerza no conservativa?

El centro de masas del conjunto siempre se mueve a 1.5m/s, la energía cinética de ese conjunto considerando luego de un choque inelástico es de 90 J al estar unidos.

Por definición en un choque inelástico la energía cinética no se conserva.

lo mismo sucede al saltar el niño hace fuerza y provoca un impulso que altera la cantidad de movimiento de las dos partes del sistemas, aportando energía , igualmente la energía cinética del sistema no se conservara .y el centro de masas del conjunto seguirá desplazándose a la misma velocidad de 1.5 m/s

[Marcos Castillo]

Re: ¿Fuerza no conservativa?

Pero, ¿por qué se trata de una colisión inelástica?

[Richard R Richard]

Re: ¿Fuerza no conservativa?

Cuando el niño salta sobre el trineo, este se desacelera instantáneamente de 4 a 1,5 m/s, y el trineo acelera de 0 a 1,5m/s también instantáneamente. Es decir ambas partes del sistema reciben un impulso, el niño para poder quedar parado debe disipar energía en rozamiento en sus pies y en las manos al tomarse de la barra. Por ello es un choque inelástico.

Es distinto a pensar que la superficie del trineo es rugosa y cuando el niño salta sea la fuerza de rozamiento dinámica de su desaceleración la que venza la fuerza de rozamiento estática del trineo con el piso, para que este acelere. Estos no son los términos de tu problema.

En la segunda parte sucede a la inversa, un impulso separa las masa del niño y el trineo, por lo que las ecuaciones son las mismas al choque inelástico, Tu problema no dice que el niño aplica una fuerza sobre la superficie del trineo hasta acelera a -1,5 m/s con respecto a esta al momento de dejarla, lo cual le daría una velocidad relativa al piso de 0m/s.

Estos transitorios de tiempos no existen en el planteo del problema por eso se usa la solución de choque inelástico.

[MrM]

Re: ¿Fuerza no conservativa?

Pero, ¿por qué se trata de una colisión inelástica?

Te lo contaré a modo de curiosidad, aunque no te preocupes, que a tu nivel no necesitas saber estas cosas para hacer las cuentas. Sin embargo no es nada difícil de comprender.

Cuando hablamos de colisiones, tenemos lo que llamamos "coeficiente de restitución", que se define como $e=-\frac{v_{1f}-v_{2f}}{v_{1i}-v_{2i} }$, donde las vf denotan las velocidades finales de los cuerpos, y las vi las iniciales.
Para el caso particular de que e sea igual a 0, se dice que el choque es "perfectamente inelástico", y es el caso en el que más energía se pierde.
Es fácil ver que esto ocurre solo cuando $v_{1f}=v_{2f}$, o lo que es lo mismo, ocurre cuando, tras el choque, los dos cuerpos permanecen solidarios con la misma velocidad. En este caso, por ejemplo, tenemos esa misma situación: el chico se lanza sobre el trineo, y luego se deslizan juntos a la misma velocidad. Por lo tanto, es un choque perfectamente inelástico.

Pero, como ya te he dicho, a tu nivel no hace falta que tengas en cuenta estas cosas para hacer las cuentas, probablemente lo único que conseguirás sea liarte más.
Un saludo, y espero haber ayudado

[arivasm]

Re: ¿Fuerza no conservativa?

Pero, ¿por qué se trata de una colisión inelástica?

Porque no se conserva la energía mecánica. El ejemplo paradigmático de una colisión elástica son dos bolas de billar (o dos electrones que se repelen): en la colisión intercambian momento y energía y cada una sigue su camino.

El ejemplo más común de colisión inelástica es aquella en la que los dos cuerpos se funden en uno solo (bala que se incrusta en bloque de madera, núcleo que absorbe un neutrón...) en este caso, el objeto resultante posee un momento igual a la suma de los momentos de los cuerpos iniciales, pero la energía mecánica no: la "fusión" implica una disipación de energía. También es un ejemplo típico justo lo contrario: granada que explota y se divide en varios fragmentos (o núcleo inestable que se fisiona). En este caso también se conserva el momento, pero no la energía (parte de la energía potencial interna se transforma en energía mecánica).

Pues bien, el niño saltando sobre el trineo es esencialmente el mismo caso que la bala que se incrusta en la madera: parte de la energía mecánica se pierde en forma de calor. Cuando salta fuera de él es semejante a la granada: parte de la energía almacenada en su cuerpo gracias a los bocadillos que se haya comido () se transforma en el exceso de energía mecánica que adquiere el sistema formado por él y el trineo.

[Marcos Castillo]

Re: ¿Fuerza no conservativa?

¡Muchas Gracias! !. Ahora tengo más claro el concepto de colisión inelástica. ¡Un Saludo!

[felmon38]

Re: ¿Fuerza no conservativa?

Marcos, para ver cualitativamente el problema, se pueden aplicar las ecuaciones de la dinámica al trineo y al niño por separado ( teniendo en cuenta los resultados anteriores)

Fase 1: El niño se sube al trineo
a)El trineo.La fuerza horizontal exterior sobre el trineo es la del niño sobre él, que le acelera hasta la velocidad final. Esta fuerza F, ejerce un trabajo sobre él, que coincide con la variación de su energía cinética. Conocemos la velocidad final del trineo por lo que podemos calcular el valor de este trabajo.
b)El niño. La única fuerza exterior horizontal que actúa sobre él es la del trineo, que es igual y contraria a la del caso a). Esta fuerza decelera la velocidad del c.d.g. del niño hasta que el conjunto de los dos cuerpos tiene la misma velocidad. Aplicando también el teorema de la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza -F sobre el niño, que ahora es negativo, igual y contrario al anterior, más el trabajo realizado por las fuerzas internas del niño (músculos, rozamiento interno,..,) iguala a la variación de la energía cinética del niño. Con esto podríamos calcular el trabajo de las fuerzas interiores,

Bueno, si te interesa, puedes aplicar el mismo razonamiento para interpretar cualitativamente cuando el niño salta del trineo, que no te lo pongo porque es repetir lo anterior.


Saludos

[Marcos Castillo]

Re: ¿Fuerza no conservativa?

¡Hola, felmon 38!. Has aplicado el teorema Trabajo-Energía cinética. Muy interesante. ¡Muchas gracias!