1r ciclo Problema gravitatoria.

[Wimet]

Buenas a todos, soy nuevo en esto de la física y me han mandado un problema que dice así:

Se desea poner un satélite de masa m = 100 kg en órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 400 km sobre la superficie terrestre (correspondiente a la altura de la Estación Espacial Internacional). Para ello se traslada mediante un cohete a esta altura y se le comunica una velocidad.

1. Obtener esta velocidad, así como la energía cinética y potencial del satélite en esa órbita.
2. Obtén las características de la órbita (parámetro, excentricidad, semiejes, posición del pericentro y apocentro y periodo en caso de existir) si le hubiéramos comunicado una velocidad un 5% mayor en la misma dirección.

El apartado uno es bastante sencillo y lo he realizado correctamente, el problema me surge en el apartado dos, ya que no me cabe en la cabeza lo que nos está pidiendo en una órbita circular.

Nota: Me recomendaron usar coordenadas polares.

[Alriga]

Re: Problema gravitatoria.

Si la órbita es circular, la velocidad es la que has calculado en el apartado 1.
Si con la misma altura la velocidad es 1.05 veces la que has obtenido, entonces la órbita ya no podrá será circular, será elíptica, por eso te piden los tipicos parámetros de una elipse, semiejes, excentricidad, etc...

[Richard R Richard]

Re: Problema gravitatoria.

Hola bienvenido al foro

En el punto 1

debes igualar la fuerza de atracción gravitatoria con la fuerza centrípeta

$$F_g=\dfrac{MmG}{(R+R_t)^2}=\dfrac{mV_t^2}{R+R_t}=F_c$$

$F_g$=fuerza de gravedad
$F_c$= Fuerza centrípeta
$M$=masa de la tierra
$m$=masa del satélite
$R$= altura sobre la superficie de la tierra
$R_t$=Radio de la tierra
aqui despejas la incógnita $V_t$ que es la velocidad tangencial del satélite

luego con esa velocidad calculas la energía cinética del satélite con

$$E_c=\frac12 mV_t^2$$

y la potencial con respecto al centro de la tierra es

$$E_p = mg(R+R_t)$$

Para el punto 2

Primero calcula la energía mecánica del Satélite utilizando los nuevos datos incrementa 5% la velocidad tangencial ahora V_{t2} a la misma altura

$$E_m=E_c+E_p=\frac12 mV_{t_{max}}^2+mg(R+R_t)=\frac12 mV_{t}^2 1.05^2+mg(R+R_t)$$

como la velocidad se incremento ya no seguirá una órbita circular sino elíptica que tendrá dos características definidas una en que la velocidad tangencial es máxima y la energía potencial es mínima y otra donde la energía potencial es máxima y la cinética mínima. Además sabemos que la energía mecánica debe conservarse en ambas situaciones

la primera de estas características la hemos calculado ya en la formula anterior sabemos que la perturbación de la órbita fue por el incremento de velocidad tangencial.entonces

$$V_{tmax}=1.05 V_t$$

y que la altura es la misma entonces

$$R+R_t=R_{min}+R_t$$

$$E_{m1}=E_{c_{max}}+E_{p_{min}}=\frac12 mV_{t_{max}}^2+mg(R_{min}+R_t)$$

en la segunda sabemos que todo el exceso de energía cinética se habrá convertido en energía potencial por lo que

$$V_{t_{min}}=V_t$$

y que

$$E_{m1}=E_{m2}$$

la altura ahora es la incógnita

$$E_{m2}=E_{c_{min}}+E_{p_{max}}=\frac12 mV_{t_{min}}^2+mg(R_{max}+R_t)$$

despejando$R_{max}$ sabemos la altura máxima de la órbita sobre la superficie terrestre.

entonces el semieje menor

$$S_{min}=R_t+R_{min}$$

y el semieje mayor

$$S_{max}=R_t+R_{max}$$

con las formulas de la elipse haces una ecuación paramétrica

$$\dfrac{x^2}{(R_{max}+R_t)^2}+\dfrac{y^2}{(R_{min}+R_t)^2}=1$$

en polares


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
la excentricidad será

$$\epsilon=\dfrac{\sqrt{(R_{max}+R_t)^2-(R_{min}+R_t)^2}}{R_{max}+R_t}$$

segun los parametros cartesianos x e y que tome el pericentro es el foco de la elipse en donde se halla la tierra, el origen del sistema de referencia, pues desde alli se mide la distancia mas corta al perigeo y el apocentro el otro foco de la elipse donde se mide la distancia mas corta al apogeo y estara sobre el eje x a

$$A_{x}=2\sqrt{(R_{max}+R_t)^2-(R_{min}+R_t)^2}$$

El periodo para una órbita elíptica sera segun la tercera ley de Kepler

$$T=\sqrt{\dfrac{4\pi^2 (R_{max}+R_t)^3}{GM}}$$

puedes consultar aquí de donde proviene la fórmula


te queda a ti darle resultado numérico , en general te conviene que tu plantees el problema y nosotros veamos en que fallas, poco aprenderás de lo que otro resuelva por ti.


Saludos .....$R^3$

[Wimet]

Re: Problema gravitatoria.

Dios mio! Muchas gracias! El dato que se me pasaba (aunque suene muy estúpido) es que no tenía en cuenta que si aceleramos o desaceleramos el objeto en órbita este hará , efectivamente, una órbita elíptica. Habiendo sabido esto probablemente lo hubiera sacado por mi cuenta. De todas maneras... No sabes cuanto te lo agradezco. En cuanto lo haga publico el resultado.

[Richard R Richard]

Re: Problema gravitatoria.

Hola Wimet, por confiar en la memoria, habia supuesto que g la aceleracion de la gravedad era constante para toda altura, pero esto no es cierto para calculo la energia potencial a grandes alturas.

He modificado las ecuaciones del post #3 para que sean las correctas, y compares con las que has hecho por tu cuenta.

Saludos $R^3$