1r ciclo Ejercicio de Salto

[The Higgs Particle]

Hola, tengo este ejercicio:



Y he conseguido hacer los dos primeros apartados. Sin embargo, en el último ni siquiera sé qué me están diciendo. ¿Podríais darme alguna pista?

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¿Se refiere a que durante los $1.3$ segundos en los que se encuentra en caída libre da media vuelta?
Porque en ese caso sería que recorre $\pi (rad)$ en $1.3 (s) \to \omega = 2.42 (s^{-1})$, pero me resulta raro porque está en el tema de dinámica, y a lo mejor es algo del momento angular, $L = m \cdot \omega \cdot r^2$

[felmon38]

Re: Ejercicio de Salto

Efectivamente, creo que has calculado bien su módulo, y está justificado que debe de estar en el tema de dinámica del sólido para poder justificar que la velocidad angular permanece constante y para establecer el sentido de giro, que hay que conocer para determinar el vector velocidad angular.(Suponiendo un contacto puntual con el trampolín).
Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicio de Salto

¿Por qué sabemos que $L = cte$?

Al estar en movimiento durante la caída (no está en equilibrio), $\sum_{i=1}^n (\tau_i) \neq 0 \to \frac{dL}{dt} \neq 0 \to L \neq cte.$

[Alriga]

Re: Ejercicio de Salto

Si no hay rozamiento, la única fuerza EXTERIOR que actúa sobre el saltador es el peso. El peso pasa por el centro de masa, luego no causa momento, solo la aceleración (igual a la de la gravedad) que lo hace caer con movimiento uniformemente acelerado.
De aquí se deduce que la suma de momentos de todas las fuerzas exteriores, (solo hay una, el peso) es cero durante toda la caída. Y como solo puede haber variación del momento cinético si hay momento de fuerzas EXTERIORES, el momento cinético se conserva durante toda la caída

$\dfrac{d \vec L}{dt}=\Sigma \vec M_i$

$\Sigma \vec M_i=0$

$\dfrac{d \vec L}{dt}=0$

$\vec L=Cte$

$L(t)=I(t) \cdot \omega (t) =Cte$

En el enunciado te dicen la frase “...si se mantuviera estirado durante todo el recorrido...” para que interpretes que el saltador no hace movimientos durante la caída que hagan variar su Momento de Inercia I
Luego si I es constante y L también, necesariamente lo ha de ser la velocidad angular

$\omega (t)=\dfrac L I = constante$

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicio de Salto

El peso pasa por el centro de masa, luego no causa momento

¿Es cero por esto?: $\vec \tau = \vec r \times \vec P$, el ángulo que forman $r$ y $P$ es de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , puesto que ambos tienen como punto de aplicación el centro de masas y están dirigidos perpendicularmente hacia abajo, ¿no?

[Alriga]

Re: Ejercicio de Salto

¿Es cero por esto?: $\vec \tau = \vec r \times \vec P$, el ángulo que forman $r$ y $P$ es de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , puesto que ambos tienen como punto de aplicación el centro de masas y están dirigidos perpendicularmente hacia abajo, ¿no?

$\vec \tau = \vec r \times m \vec g=0$ porque $\vec r = 0$ ya que $\vec r$ es el vector que une el punto de aplicación del peso con el centro de masas, que es el MISMO punto.

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicio de Salto

¿Pero no depende $r$ del sistema de referencia que coja? Si el origen de mi sistema está justo en el centro de masas (a la altura del ombligo), $r = 0$, pero si mi origen está en la cabeza, desde ese punto hasta el ombligo (punto de aplicación del peso), $r \neq 0$, ¿no?

[arivasm]

Re: Ejercicio de Salto

Del mismo modo que en realidad no debemos hablar de "momento de tal fuerza" (o torque) a secas, sino que deberíamos decir "momento de tal fuerza respecto de tal punto" (pues, como dices, el $\vec r$ depende de cuál sea el punto respecto del que se calcula el momento) tampoco debemos decir "momento angular", sino "momento angular respecto de tal punto". En este caso no se conservan *todos* los momentos angulares del saltador. Sólo el momento angular respecto del cdm, por la razón que te indicó Alriga: el torque respecto del cdm es nulo porque $\vec r=\vec 0$

[Alriga]

Re: Ejercicio de Salto

¿Pero no depende $r$ del sistema de referencia que coja?

No, la expresión del momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto Q viene dado por el producto vectorial del vector $\vec{QP}=\vec r$, por el vector fuerza. Repito, el vector que va de Q a P, no el vector que va del origen de coordenadas a P o del origen de coordenadas a Q.

$\vec M=\vec{QP} \times \vec F$

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicio de Salto

Del mismo modo que en realidad no debemos hablar de "momento de tal fuerza" (o torque) a secas, sino que deberíamos decir "momento de tal fuerza respecto de tal punto" (pues, como dices, el $\vec r$ depende de cuál sea el punto respecto del que se calcula el momento) tampoco debemos decir "momento angular", sino "momento angular respecto de tal punto". En este caso no se conservan *todos* los momentos angulares del saltador. Sólo el momento angular respecto del cdm, por la razón que te indicó Alriga: el torque respecto del cdm es nulo porque $\vec r=\vec 0$

Así que he de considerar para ese apartado que es un punto que, en 1.30 segundos, gira media vuelta, ¿no? Este punto representaría el centro de masas; es decir, considero que únicamente es él el que gira y, en referencia a él, $\vec r = 0 \to \vec \tau = 0 \to L = cte.$

- - - Actualizado - - -

No, la expresión del momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto Q viene dado por el producto vectorial del vector $\vec{QP}=\vec r$, por el vector fuerza. Repito, el vector que va de Q a P, no el vector que va del origen de coordenadas a P o del origen de coordenadas a Q.

¿Qué punto es $Q$? Porque entiendo que $P$ sea el punto de aplicación de la fuerza

[Alriga]

Re: Ejercicio de Salto

Así que he de considerar para ese apartado que es un punto que, en 1.30 segundos, gira media vuelta, ¿no? [/TEX]

No. El saltador como un sólido rígido gira media vuelta respecto de su centro de masa

¿Qué punto es $Q$? Porque entiendo que $P$ sea el punto de aplicación de la fuerza

P es el punto genérico de aplicación de la fuerza y he llamado Q al punto genérico respecto del que se calcula el Momento de esa fuerza.
En tu ejercicio P es el centro de masa y Q también es el centro de masa, por eso $\vec{QP}=0$

Saludos.

[arivasm]

Re: Ejercicio de Salto

No se trata de que un punto gire, sino que el saltador (que debes imaginarlo tieso como si fuese un bolígrafo) gira 180º (alrededor de su cdm) durante el vuelo. Por tanto, el cálculo de la velocidad angular de giro es realmente simple: si tarda 1,3 s en llegar a tocar el agua entonces será $\pi/1,3\ \rm rad/s$.


Respecto de lo que te dice Alriga (aunque quizá te lo aclare él mismo) simplemente está llamando Q al punto que tú llamas origen de coordenadas. Digamos que lo que él pone es más correcto que lo que tú escribes: el momento de un vector no sólo se define respecto del origen de coordenadas (aunque en realidad el resultado sea el mismo que si simplemente se traslada el origen al punto respecto del que se hace el cálculo).

Añado: efectivamente, Alriga escribió al mismo tiempo que yo. Mi respuesta es al mensaje de THP, que así puede apreciar nuestras coincidencias (o matices, vete a ver)

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicio de Salto

Entonces sabemos que nuestro $Q$ ha de coincidir en este caso con el centro de masas únicamente porque el giro se realiza alrededor de éste (el eje del giro lo atraviesa), ¿no?

[arivasm]

Re: Ejercicio de Salto

Si Q no fuese el cdm el peso del saltador tendría un momento no nulo y entonces, por el principio fundamental de la dinámica de rotación, su momento angular (respecto de Q) no sería constante. Digamos que eso no nos impediría calcular la velocidad angular del giro respecto del cdm, pero nos lo volvería bastante más rollo.

De todos modos, el ejercicio hay que entenderlo en los términos de la cinemática del sólido rígido, y que nos piden la velocidad angular de rotación del sólido.

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicio de Salto

Pero si el CM no describe ningún movimiento circular (puesto que, en él, el momento de fuerza, que representa la capacidad de una fuerza para hacer girar una masa sobre un eje concreto, es nulo), entonces su $\omega$ durante todo la caída es 0. Esto implica que $\vec L_{CM} = cte. = 0$

No entiendo entonces cómo podemos utilizarlo para justificar que la velocidad angular en cualquier otro punto es constante, puesto que en un punto situado en el cuello, por ejemplo, sí que hay un determinado momento de la fuerza. Y en la wikipedia suponen sin explicar por qué que $v = r \cdot \frac{d \varphi}{dt} = cte.$