1r ciclo Equilibrio sumergido en agua.

[HanT]

Dos objetos están en equilibrio como se muestra en la figura. Los objetos tienen el mismo volumen pero diferente masa. Suponer que todos los objetos de la figura son más densos que el agua y que, por tanto, ninguno de ellos flotaría en agua. ¿Se verá modificada la situación de equilibrio si se sumerge todo el sistema en agua?

En princpio la figura no creo que tenga mucha relevancia ponerla. Es una barra horizontal de la que cuelgan dos masas en situación de equilibrio.

Lo que creo es que al tener el mismo volum en, desplazan la misma cantidad de agua y el empuje es igual en las dos masas por lo que no se alteraría el equilibrio. Lo que no sé es si influye en este caso la densidad del objeto más allá de lo que ya nos dicen, y lo que he encontrado respecto a estos casos me parece un poco confuso la verdad.

Gracias
!

[arivasm]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

Ten en cuenta que los momentos de las fuerzas cambiarán.

[HanT]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

Ah pues, ahora que lo dices sí que da más información la imagen. Una de las masas cuelga ligeramente más cerca del centro.

Lo que dices de los torques con esto que he dicho ahora, ¿se podria justificar por ahí? Es decir, que los momentos de las fuerzas de empuje, aunque ésta actúe de igual forma en cada cuerpo, sí varían el sistema debido que no se anulan en un sumatorio de torques. Lo que pasa es que lo de las distancias no lo había referido antes y aún así me has comentado eso, así que no sé...

[arivasm]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

Desde luego la figura acortaría algo las cosas. Por lo que has escrito yo la he imaginado así: una barra con dos masas en sus extremos, de diferente magnitud pero igual volumen; la barra la imagino apoyada en algún soporte, pero no por su centro, sino más próximo a una de las masas (la más pesada). Obviamente, esto último es simplemente por el equilibrio de momentos, $m_1gd_1-m_2gd_2=0$.

El equilibrio de fuerzas simplemente implica que la reacción en el soporte es igual a la suma de los pesos de ambas masas.

Al sumergir el sistema en un fluido, en el que ninguno de los objetos flota (que es lo mismo que decir que todos ellos mantienen un peso aparente positivo) cada masa tendrá un peso aparente rebajado en la misma cantidad (el empuje idéntico que experimenta cada una). Por tanto, en lo que se refiere a los momentos...

[Al2000]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

¿Pero el brazo mas corto no experimentaría un empuje menor que el brazo mas largo? Es fastidioso tener que estar especulando sobre las condiciones del problema Por otra parte si ambos brazos fuesen del mismo tamaño pero las dos masas cuelgan asimétricamente, entonces si me parece que al sumergirlo no habría ningún cambio.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[arivasm]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

No comprendo eso del colgado asimétrico.

De todos modos, entiendo que sólo se mantendrá el equilibrio si se cumple una relación muy concreta entre los parámetros del sistema. Me explico:

La condición de equilibrio inicial, al tomar en consideración la masa y volumen de los brazos, si la sección de éstos es $S$, su longitud $L$ y $x$ es la distancia entre la primera masa y el punto de apoyo de la barra, será

$$\dst\rho_1Vx+\rho_b S\frac{x^2}{2}=\rho_2V(L-x)+\rho_b S\frac{(L-x)^2}{2}$$

Al introducir el sistema en el líquido el empuje juega el mismo papel que si la densidad de cada objeto se redujese en una cantidad igual a la densidad del líquido, de manera que si, con las nuevas densidades aparentes, se sigue cumpliendo la condición de equilibrio anterior es porque se satisface

$$\dst Vx+S\frac{x^2}{2}=V(L-x)+S\frac{(L-x)^2}{2}$$

lo que, junto con la condición de equilibrio inicial, nos lleva a una relación muy concreta (y que, confieso, me da pereza obtener ) entre las densidades y $V$, $S$ y $L$.

Lo que es muy interesante es el hecho de que, en tal caso, el equilibrio se mantiene siempre, sin que importe cuál sea el fluido en el que se sumerja el sistema.

- - - Actualizado - - -

Por ejemplo, observo que si es despreciable la influencia de los brazos la única situación que conserva el equilibrio es aquélla en la que ambas masas son iguales. Algo que resulta, por otra parte, bastante obvio.

[Richard R Richard]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

¿Pero el brazo mas corto no experimentaría un empuje menor que el brazo mas largo?

No pues,

Los objetos tienen el mismo volumen pero diferente masa.

al tener el mismo volumen tienen el mismo empuje estando completemente sumergidos y sus densidades seran distintas $\rho_1\neq \rho_2$

de manera que si, con las nuevas densidades aparentes, se sigue cumpliendo la condición de equilibrio anterior es porque se satisface

$$\dst Vx+S\frac{x^2}{2}=V(L-x)+S\frac{(L-x)^2}{2}$$

Si desarrollas la expresion 2 buscando tu relacion entre V,S y L concluirás que la condición de equilibrio se va a satisfacer siempre que $x=\dfrac L2$ independientemente del volumen V y de la seccion S,

Si reemplazas este valor de x en la expresion 1 llegas a la conclusion que $\rho_1= \rho_2$ que no se lleva con las condiciones iniciales del problema $\rho_1\neq \rho_2$

Por lo que si las densidades son distintas y hay equilibrio fuera del fluido, entonces no lo habrá cuando se halle sumergido y viceversa.

Saludos $\mathbb R^3$

[HanT]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

Adjunto la imagen

[arivasm]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

Adjunto la imagen

Como suele suceder, eso habría ahorrado tiempo!

No comprendo eso del colgado asimétrico.

Ya entiendo a qué te referías, Al

Si desarrollas la expresion 2 buscando tu relacion entre V,S y L concluirás que la condición de equilibrio se va a satisfacer siempre que $x=\dfrac L2$ independientemente del volumen V y de la seccion S,

Por supuesto, al ver la imagen el ejercicio cambia respecto de lo que imaginé (con las masas en los extremos y el punto de apoyo de la barra descentrado), pero de ser de esa manera (2) implicaría $\dst x=\frac{2 V+SL}{4 V + 2 SL} L$

Tal como es el enunciado, las cosas son más sencillas si el punto de apoyo está en el medio, pues entonces el peso (real o aparente) de la barra no influye. Si no está centrado, entonces tenemos dos distancias en juego: la distancia entre el extremo izquierdo de la barra y el punto de apoyo (que llamaré $y$), y la distancia entre la masa de la izquierda y dicho punto, $x$. Pero un enfoque posible es el mismo que señalé antes. La condición de equilibrio será la relación lineal

$$\rho_1 Vx+\rho_bS\frac{y^2}{2}=\rho_2V(L-y)+\rho_b S\frac{(L-y)^2}{2}$$

El sistema se mantendrá en equilibrio al sumergirlo si

$$Vx+S\frac{y^2}{2}=V(L-y)+S\frac{(L-y)^2}{2}$$

Aunque ahora tenemos más margen de movimiento, en el sentido de que la condición inicial de equilibrio no se traduce en una sola configuración (para cada $y$ puede existir una $x$, y digo puede porque sólo sucederá si se satisface que $y\geq x$), tenemos dos ecuaciones cuyas soluciones quedarán finalmente en función de tres parámetros: la relación entre el volumen de la barra y el de las masas, $p=SL/V$, y dos relaciones entre las densidades, por ejemplo $q=\rho_1/\rho_b$ y $r=\rho_2/\rho_b$.

Podemos darle la vuelta a lo anterior y observar que encontrar $x=x(p,q,r)$ e $y=y(p,q,r)$, equivale, vía (3) o (4), a encontrar una relación $f(p,q,r)=0$, lo que sigue significando que la invariabilidad del equilibrio sigue exigiendo de unas condiciones concretas en los parámetros del sistema.

Saludos!

[Richard R Richard]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

Viendo la foto, si el apoyo esta en $\frac L2$ veo que lo que expuse en el #7 es correcto pero no por las razones que expuse

en el equilibrio en el aire la distancia entre el apoyo y la pesa mas pesada es $y=\dfrac L2 \dfrac{\rho_2}{\rho_1}$ siendo $\rho_2<\rho_1$

pero al sumergir si o si para tener equilibrio debe suceder que $y=\dfrac L2$ con lo cual solo habra equilibrio si ${\rho_2}={\rho_1}$ que se contradice con el enunciado.

Creo que la condición de equilibrio en ambos medios si existe, es una relación entre $(S,V,L, \rho_1,\rho_2,\rho_b)$, pero debemos ser libres de elegir tanto la posición de la pesa y la posición del punto de equilibrio.

en el aire

$y=\dfrac L2 \left (\dfrac{\rho_2}{\rho_1}+ \dfrac{\rho_b}{\rho_1}\dfrac{S}{V}(L-2x)\right )$

sumergido deberia darse

$y=\dfrac L2 \left (1+ \dfrac{S}{V}(L-2x)\right )$

igualando ambas expresiones despejamos $x$

$x=\dfrac L2-\dfrac{\rho_1-\rho_2}{\rho_b-\rho_1}\dfrac{V}{2S}$

reemplazando calculamos $y$

$y=\dfrac L2\left (\dfrac{\rho_b-\rho_2}{\rho_b-\rho_1}\right )$

Saludos $\mathbb R^3$

[felmon38]

Re: Equilibrio sumergido en agua.



Cara del Autor del problema al ver el desarrollo del hilo
Saludos

[arivasm]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

Antes de nada, decir que en lo que escribí anteriormente había algún error que ya he corregido.

Veo que esencialmente estamos de acuerdo: si el punto de apoyo está en el centro no será posible que el equilibrio se mantenga en ambas situaciones, salvo que las dos masas sean iguales (en cuyo caso, obviamente, ambas estarán en los extremos de la barra). También estamos de acuerdo en que si se puede obviar esa limitación, y el punto de apoyo puede situarse donde se desee, entonces habrá una condición determinada de los parámetros del sistema que sí permitirá el mantenimiento del equilibrio.

Sin embargo, mantenemos diferencias en el cálculo. En primer lugar, debidas a la notación, pues creo que lo que yo llamé $x$ (distancia entre la masa más pesada y el punto de apoyo) e $y$ (longitud del brazo izquierdo) tú los has denotado justo al revés.

Como ya dije al principio, mi post #9 tenía un error en ambas expresiones que ya he editado. Los cuadrados que aparecen se deben a que el centro de masas de cada brazo está en la mitad de su longitud y también a que su masa es proporcional a esta última. De ahí que la condición de equilibrio sea (usaré, por coherencia, la misma notación que manejé en mi post):

$\dst \rho_1 Vx+\rho_bS\frac{y^2}{2}=\rho_2V(L-y)+\rho_b S\frac{(L-y)^2}{2}$

de donde resulta

$\dst x = \frac{L}{2}\left[\frac{\rho_2}{\rho_1}2\left(1-\frac{y}{L}\right)+\frac{\rho_b}{\rho_1}\frac{SL}{V}\left(1-2\frac{y}{L}\right)\right]$

que es diferente de lo que has escrito tú.

Saludos.


PD: Por supuesto, la respuesta es al post de Richard!

[Richard R Richard]

Re: Equilibrio sumergido en agua.

Otra mas para la carcajada de felmon38

Ya habia notado lo de la notación, no le di importancia mientras la conclusión era la misma, ahora revise mi calculo y cometi un error, tome la longitud del brazo derecho como L/2 cuando es $L-y$ entonces

$\dst x = \frac{L}{2}\left[\frac{\rho_2}{\rho_1}2\left(1-\frac{y}{L}\right)+\frac{\rho_b}{\rho_1}\frac{SL}{V}\left(1-2\frac{y}{L}\right)\right]$

con tu notación ó.....

$\dst y = \frac{L}{2}\left[\frac{\rho_2}{\rho_1}2\left(1-\frac{x}{L}\right)+\frac{\rho_b}{\rho_1}\frac{SL}{V}\left(1-2\frac{x}{L}\right)\right]<br />$

con la mia , es correcta.



Saludos $\mathbb R^3$