1r ciclo Pendulo simple

[agusti2796]

Buenas, estoy haciendo ejercicios del libro de mecanica clasica de T.W.B Kibble y me he encontrado con un ejercicio que no soy capaz de sacarlo.
-Un pendulo simple de longitud L (sujeto por una varilla rigida, en lugar de por un hilo flexible) con una amplitud arbitraria, es apartado un angulo muy pequeño de su posicion de reposo en la vertical. Demostrad que el tiempo necesario para que el desplazamiento angular venga multiplicado por 10, es aproximadamente $\sqrt{\frac{l}{g}}ln20$. Calcular este tiempo para un péndulo de periodo 2s, y encontrar la velocidad angular del pendulo cuando alcanza la vertical descendente.

No estoy pidiendo que me lo solucionen, solo necesitaria una pequeña guia que me diga que hacer, ya que ahora mismo no se ni como empezar.
Gracias

[felmon38]

Re: Pendulo simple

¿Está bien el enunciado?
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Pendulo simple

For the pendulum described in §2.1, find the equation of motion for small displacements from the position of unstable equilibrium, $0 = \pi$. Show that if it is released from rest at a small angle to the upward vertical, then the time taken for the angular displacement to increase by a factor of 10 will be approximately $\sqrt{\frac{l}{g}}ln20$. Evaluate this time for a pendulum of period 2 s, and find the angular velocity of the pendulum when it reaches the downward vertical.

Para el péndulo se describe en el § 2.1, encontrar la ecuación de movimiento para pequeños desplazamientos de la posición de equilibrio inestable, $0 = \pi$. Demostrar que si se libera desde el reposo en un pequeño ángulo con la vertical hacia arriba, entonces el tiempo necesario para el desplazamiento angular para aumentar en un factor de 10 será de aproximadamente $\sqrt{\frac{l}{g}}ln20$. Evalúe un péndulo similar de periodo de 2 s , y encontrar la velocidad angular del péndulo cuando llega a la vertical hacia abajo.

Es la mejor traduccion de google que pude obtener...

ahora entiendo que si quieren aumentar el periodo en un factor de 10

$T=10\cdot 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}=T=20\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\neq \sqrt{\frac{l}{g}}ln20$

debe ser un error de tipeo en el enunciado

Saludos $\mathbb R^3$

[felmon38]

Re: Pendulo simple

agusti, gracias a R³ he entendido tu enunciado al que creo que,para aclararlo, se debería añadir que se parte del punto de equilibrio inestable. Ahora la solución, para pequeños ángulos, es una función exponenecial, debido al cambio de signo de la ecuación diferencial, por lo que creo que se puede llegar a la solución. La condición de que se trata de una varilla en vez de un hilo daba una pista de que se trataba de la posición vertical pero la del desequilibrio inestable, en donde el hilo debería poder trabajar a compresión.
Saludos

[arivasm]

Re: Pendulo simple

Como el compañero que abre el hilo no quiere que se resuelva, ocultaré mi solución. He usado la conservación de la energía y el desarrollo del coseno en serie de Taylor de orden 2.

Por supuesto, sin la aclaración de felmon38 no habría forma de atacar el ejercicio!

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Llamando $\theta$ al ángulo que forma la varilla con la vertical, de la conservación de la energía tenemos que $gl\cos\theta_0=gl\cos\theta+\frac{1}{2}l^2\dot\theta^2$. Como los ángulos implicados son pequeños, aproximamos el coseno por su desarrollo en serie de orden 2, $\cos\theta\approx 1-\frac{1}{2}\theta^2$, de manera que $g(\theta^2-\theta_0^2)\approx l\dot\theta^2$. Por tanto, $\dst \int_{\theta_0}^\theta \frac{\dd\theta}{\sqrt{\theta^2-\theta_0^2}}\approx\sqrt{\frac{g}{l}}t$.

Haciendo el cambio de variable $x=\theta/\theta_0$, tenemos que $\dst \sqrt{\frac{g}{l}} t\approx \int_1^{\theta/\theta_0}\frac{\dd x}{\sqrt{x^2-1}}=\left.\ln(\sqrt{x^2-1}+x)\right]_1^{\theta/\theta_0}=\ln\left[\sqrt{\left(\frac{\theta}{\theta_0}\right)^2-1}+\frac{\theta}{\theta_0}\right]$. Al substituir $\theta=10\,\theta_0$ el lado derecho vale $\ln(\sqrt{99}+10)\approx\ln 20$.