Secundaria Velocidad de escape

[noadarriba]

Hola a todas y a todos

En mi curso de mecánica de la UNED estoy empezando a pelearme con órbitas elípticas, pero he tenido que volver a recordar mi poca Física de 2º de BAC.

Para calcular la velocidad de escape de un satélite de masa mdesde una órbita circular de radio R planteo

Energía cinética + Energía potencial del satélite en la órbita + energía cinética de escape $\geq 0$

$-\dfrac{GM_Tm}{R}+\dfrac{1}{2}m.v_{orb}^2+ \dfrac{1}{2}m.v_e^2 \geq 0$

De esta ecuación después de calcular la velocidad en la órbita circular de Radio R se despeja la velocidad de escape del satélite:

$v_e\geq \sqrt{\dfrac{GM_T}{R}}$

para calcular la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra planteo lo mismo:

Energía cinética + Energía potencial del satélite en la superficie de la Tierra + energía cinética de escape $\geq \ 0$

$-\dfrac{GM_Tm}{R_T}+\dfrac{1}{2}m.v_{ST}^2+\dfrac{1}{2}m.v_e^2 \geq 0$

Y considerando la energía cinética en la superficie de la Tierra nula, despues de operar y despejar:

$v_e\geq \sqrt{\dfrac{2.GM_T}{R_T}}$

Y aquí es donde aparece mi problema.
¿Por que en este apartado no se tiene en cuenta la Energía cinética (o la velocidad) del satélite en su movimiento solidario con la Tierra?

Gracias

Y vuelvo a preguntar....¿por que la página web no me deja ver quienes están en línea? ¿Quien me sabe decir?

[Richard R Richard]

Hola porque no es una simple aplicación de formula, fijate que $v_{orb}$ debe ser nula para que se cumpla tu segunda ecuación ...

todo viene de la conservacion de la energía mecanica, tu lo que quieres es darle una velocidad inicial a tu satélite para que escape de la acción gravitatoria del objeto celeste que quieras.

tienes entonces

$Em_1=Ec_1+Ep_1$

como sabes cuanto es el valor de la energía cinetica, lo puedes calcular $\frac12 mv_e^2$ pero que es $v_e$ es la suma vectorial de dos velocidades una radial y un orbital perpendicular a la radial si es la órbita circular... por lo tanto es un error de notación ponerle $v_e$ a la velocidad radial $v_r$ en tu primer fórmula...

pues $v_{escape}=v_e=\sqrt{v_{radial}^2+v_{orbital}^2}=\sqrt{v_{r}^2+v_{orb}^2}$

luego

$Em_1=-\dfrac{GM_Tm}{R_{orb1}}+\dfrac{1}{2}m.v_{orb1}^2+ \dfrac{1}{2}m.v_{r1}^2$

lo mismo hacemos con la Energía mecánica final

$Em_2=Ec_2+Ep_2$

$Em_2=-\dfrac{GM_Tm}{R_{orb2}}+\dfrac{1}{2}m.v_{orb2}^2+ \dfrac{1}{2}m.v_{r2}^2$

ahora ponemos a la vista las condiciones y datos del problema,


$v_{e1}=\sqrt{v_{r1}^2+v_{orb1}^2}$

$Em_1=-\dfrac{GM_Tm}{R_{orb1}}+\dfrac{1}{2}m.v_{e1}^2$

también sabemos que a donde queremos llegar es a un radio orbital en el infinito, $R_{orb2}\to\infty$ y que podría hacerlo llegando a allí con la minima energia cinetica posible, es decir que allí la velocidad de llegada sea nula $v_{e2}=\sqrt{v_{r2}^2+v_{orb2}^2}=0$

para alcanzar entonces el objetivo la energía mecánica inicial debe ser al menos igual o mayor a la energía mecánica en el infinito.

pero $Em_2=-\dfrac{GM_Tm}{R_{orb2}}+\dfrac{1}{2}m.v_{e2}^2= -\dfrac{GM_Tm}{\infty}+\dfrac{1}{2}m.0^2=0$

como $Em_1\geq Em_2=0$

$Em_1=-\dfrac{GM_Tm}{R_{orb1}}+\dfrac{1}{2}m.v_{e1}^2\geq 0$

luego

$v_{e1}\geq \sqrt{\dfrac{2.GM}{R_{orb1}}}$

que generalizando es


$v_{e}\geq \sqrt{\dfrac{2.GM}{R_{orb}}}$

como ves el subíndice $_e$ no indica que se trata de velocidad radial sino del módulo de la velocidad del satélite que es necesaria para escapar y es el módulo de la suma vectorial de la velocidad radial y la perpendicular o tangente al círculo de la órbita.

Para el caso de partir desde la superficie de la tierra , no se está obviando nada , solo que $v_e$ en este caso y para cálculos mas precisos es el módulo de la suma de dos velocidades o componentes, una debido a la velocidad de ascenso, ej la del cohete, y otra perpendicular que es la velocidad de la superficie de la tierra respecto de su eje de rotación , puesto que sabemos que la tierra gira.

[noadarriba]

que generalizando es

$v_{e}\geq \sqrt{\dfrac{2.GM}{R_{orb}}}$

como ves el subíndice $_e$ no indica que se trata de velocidad radial sino del módulo de la velocidad del satélite que es necesaria para escapar y es el módulo de la suma vectorial de la velocidad radial y la perpendicular o tangente al círculo de la órbita.

Para el caso de partir desde la superficie de la tierra , no se está obviando nada , solo que $v_e$ en este caso y para cálculos mas precisos es el módulo de la suma de dos velocidades o componentes, una debido a la velocidad de ascenso, ej la del cohete, y otra perpendicular que es la velocidad de la superficie de la tierra respecto de su eje de rotación , puesto que sabemos que la tierra gira.

Muchas Gracias Richard

Si te entiendo bien, sucede que mi concepto de velocidad de escape no es correcto. Yo llamaba velocidad de escape a la velocidad adicional que hay que comunicar a un satélite para sacarlo del campo gravitatorio terrestre. Por lo que te entiendo velocidad de escape es la velocidad que tiene que tener el satélite para salirse del campo gravitatorio. ¿Es así?

Y de nuevo gracias

[Richard R Richard]

Si te entiendo bien, sucede que mi concepto de velocidad de escape no es correcto. Yo llamaba velocidad de escape a la velocidad adicional que hay que comunicar a un satélite para sacarlo del campo gravitatorio terrestre. Por lo que te entiendo velocidad de escape es la velocidad que tiene que tener el satélite para salirse del campo gravitatorio. ¿Es así?

[JCB]

Hola a tod@s.

Hasta este hilo iniciado por noadarriba, no me había llegado a plantear nunca la influencia de la rotación de la Tierra en la velocidad de escape.

Para aclararme las ideas y conceptos que ha expuesto Richard, expongo:

- La velocidad de escape de la Tierra en el lanzamiento desde su superficie, tiene la expresión $v_{escape}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$. Esta velocidad es absoluta, es decir, contempla la velocidad de arrastre debida a la rotación de la Tierra, más la velocidad relativa, sumadas vectorialmente. Entonces, la velocidad relativa que se debe comunicar a un objeto para que escape de la superficie terrestre, dependerá del punto de la superficie desde donde se lance y también de la dirección y sentido de esta velocidad relativa comunicada.

- Por ejemplo, supongamos que el punto de lanzamiento está situado en el plano ecuatorial. Supongamos también, para simplificar, que efectuamos el lanzamiento en la misma dirección y sentido que la velocidad de arrastre (sentido hacia el Este).

$v_{escape}=11.181 \ m/s$ (según la expresión anterior, y considerando $G=6,674\cdot10^{-11} \ \dfrac{Nm^2}{kg^2}$, $M=5,9736\cdot10^{24} \ kg$ y $R=6.378,1 \ km$).

$v_{arrastre}=\omega R=464,96 \ m/s$ (considerando $\omega=7,29\cdot10^{-5} \ rad/s$).

$v_{relativa}=v_{escape}-v_{arrastre}=10.716,03 \ m/s$.

¿ Es esto correcto ?.

¿ Habría alguna otra consideración a efectuar, por ejemplo la aceleración de Coriolis, para determinar la velocidad relativa de escape con más precisión ?.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Supongamos también, para simplificar, que efectuamos el lanzamiento en la misma dirección y sentido que la velocidad de arrastre (sentido hacia el Este).

Lo lanzas horizontal????? Ay! que no pase por la esquina de casa..... Si lo lanzas así aprovechas toda la velocidad de arrastre, pero tiene el inconveniente que tienes que atravesar mayor cantidad de distancia en la atmósfera , el tramo que mas resistencia le opone y energía consume es justamente cursar la atmósfera. por lo que se hace es cortarla verticalmente ahorrando muchísimo combustible, que significa peso y mas peso es mas combustible....una vez que se sale de la atmósfera baja, si se ejercen cambio en la trayectoria, para aprovechar la velocidad de arrastre que quede

$v_{relativa}=v_{escape}-v_{arrastre}=10.716,03 \ m/s$.

¿ Es esto correcto ?.

si fuera lanzamiento horizontal en el sentido de rotación de la tierra sí.

¿ Habría alguna otra consideración a efectuar, por ejemplo la aceleración de Coriolis, para determinar la velocidad relativa de escape con más precisión ?.

No coriolis es una fuerza ficticia. permite explicar una aceleración sobre el objeto, pero el tema pasa que lo que está acelerado es el sistema de referencia y no el objeto.



se ve en el dibujo que la velocidad adicional para llegar a una velocidad de escape cualquiera representada por la circunferencia punteada, es mínima cuando tiene la dirección de la velocidad orbital, en este caso $V_{ad1}$

también se ve que para aprovechar la velocidad de la superficie terrestre $V_{sT}$ la tryctoria de un cohete debe cubrir mayor distancia dentro de la atmósfera, gastando demasiado combustible venciendo la fricción del aire

[JCB]

Gracias por las respuestas Richard.

No hay peligro: el ejemplo que he puesto, no lo había pensado para un caso práctico, sino para comprender el concepto de velocidad de escape como absoluta, y además ya he dicho que lo lanzaba hacia al Este, así que tranquilo .

Por otra parte, el concepto de velocidad de escape, lo tengo más asociado a proyectiles, que a cohetes. Es decir, y según entiendo, la velocidad de escape es la velocidad inicial que debería comunicarse a un objeto (sin propulsión propia) para que pudiese abandonar el campo gravitatorio terrestre.

Cuando tenga tiempo, estudiaré el gráfico tan interesante que has puesto , porque no acabo de entender lo de la velocidad orbital (quizás se refiera a un satélite orbitando), pero es un concepto nuevo, y creo que en mi ejemplo no aplica (tampoco tengo la seguridad absoluta), aunque no deja de ser interesante.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Por otra parte, el concepto de velocidad de escape, lo tengo más asociado a proyectiles, que a cohetes. Es decir, y según entiendo, la velocidad de escape es la velocidad inicial que debería comunicarse a un objeto (sin propulsión propia) para que pudiese abandonar el campo gravitatorio terrestre.

por lo general la astronáutica realiza impulsiones de tiempo corto y el resto del tiempo se viaja a motor apagado, en caída libre, respecto al sol, la tierra , la luna, o cualquier astro cuya gravedad sea significativa numéricamente. así que si quieres escapar de la gravedad terrestre tienes varias opciones acelerar constantemente a g+ algo , lo que consume mucho combustible, o acelerar a varios g unos poco minutos,cuando llegas a la velocidad de escape mas algo mas .... de seguro que no vuelves por aquí si no recibes un impulso hacia la tierra.

Cuando tenga tiempo, estudiaré el gráfico tan interesante que has puesto , porque no acabo de entender lo de la velocidad orbital (quizás se refiera a un satélite orbitando), pero es un concepto nuevo, y creo que en mi ejemplo no aplica (tampoco tengo la seguridad absoluta), aunque no deja de ser interesante.

la velocidad orbital surge de igual la fuerza centrípeta creada por viajar sobre una circunferencia por ejemplo alrededor de la tierra, con la aceleración de la gravedad a esa altura .

$g(h)=\dfrac{GM}{(R_T+h)^2}$

$a_c=\dfrac{v_{orb}^2}{R_T+h}$

igualando las aceleraciones

$v_{orb}=\sqrt{\dfrac{GM}{R_T+h}}$

cuando h=0 estas parado en la superficie de la tierra si lanzas un proyectil a $v=\sqrt{\dfrac{GM}{R_T}}$ horizontalmente, y en ausencia de fricción , nunca la bala tocara el suelo...

eso en caso en que la tierra no girara sobre si misma ,pero si lo hace

entonces si estas en el ecuador tienes que restar la velocidad de la superficie de la tierra si la lanzas al este y la sumas si lanzas para el oeste.

No te calculé el dato de cuanto es la velocidad necesaria ...porque te conozcooo....