1r ciclo Problema particulas unidas por un resorte.

[PatricioRey]

Hola, acá tengo un problema que estoy tratando de sacar hacer rato pero no pude.

Al romperse la cuerda que sujeta dos partículas A y B, el resorte comprimido hace que las partículas se separen (el resorte no esta unido a las particulas). La energia potencial del resorte comprimido es de 27,12 J, y el conjunto inicialmente tiene una velocidad Vo=6,096 m/s en la dirección en que se indica en la figura. Si la cuerda se rompe cuando \theta = 30°: a) determinar la velocidad final de cada partícula. b) Si la constante del resorte es k y los extremos del mismo estan unidos a cada particula describa con ecuaciones el movimiento subsecuente de las mismas.

Peso de A= 8,89 N
Peso de B= 13,34 N

Lo que plantee fue una conservación de la cantidad de movimiento lineal (vectorialmente) visto desde el suelo en el instante en que el resorte se suelta. Asumí que el peso no iba a molestar. Luego una conservación de la energía usando las velocidades absolutas, y por ultimo dos ecuaciones de las velocidades absolutas (ecuaciones vectoriales). Mi problema es que no se como trabajar con eso para poder despejar luego alguna velocidad en las ecuaciones de energía que son escalares. Si alguien me puede dar una mano lo agradecería o algún otro camino que sea mas fácil.

La de arriba es A y la particula de abajo es B

[arivasm]

Re: Problema particulas unidas por un resorte.

Yo lo enfocaría de esta manera: En el SR ligado al cdm el momento lineal del sistema es nulo y la energía cinética del sistema es igual a la potencial inicial. Con ello se encuentran las velocidades iniciales de las partículas respecto del cdm. A continuación basta con sumarlas vectorialmente a la inicial del cdm. A partir de ahí tenemos una caída libre para cada una.

[Richard R Richard]

Re: Problema particulas unidas por un resorte.

para la primera parte planteo la conservación de la energía, pero incluyo la velocidad de del centro de masas con respecto al sistema de referencia pues la velocidades desarrolladas por cada masa con respecto al centro de masa, son independientes.

$$\frac 12 m_AV_A^2+\frac 12 m_AV_B^2=E_{pr}$$

de la conservación de la cantidad de movimiento con respecto al centro de masas

$$m_AV_A+m_BV_B=0$$

despejando V_A de 2 y reemplazando en 1

$$V_A=-\dfrac{m_BV_B}{m_A}$$

por lo que

$$\frac 12 m_A(\dfrac{m_BV_B}{m_A})^2+\frac 12 m_BV_B^2=E_{pr}$$

de aqui obtienes $V_B$

$V_B=\dst\sqrt{\dfrac{2m_AE_{pr}}{m_B^2+m_Am_B}}$

y si lo reemplazas en 3 obtienes $V_A$


bien pero ahora sabes que estas velocidades no se desarrollan en la misma dirección que la velocidades del centro de masas $V_0$



el esquema no dice cual de las dos partículas es A o B , yo supongo la más pesada B arriba
Por lo que la velocidad de la partícula A será

$\vec V_A=((V_A\cos \theta +V_0) \vec i+ V_A \sin \theta \vec j)$

$\vec V_B=((V_B\cos \theta +V_0) \vec i+ V_B \sin \theta \vec j)$

para la segunda parte

$T=2\pi\sqrt{\dfrac {m_A+m_B}k}$

por lo que la frecuencia angular será

$\omega =\dfrac k{m_A+m_B}$


Sabemos que

$E_{pr}=\frac 12 k \Delta x^2$

entonces

$\Delta x=\sqrt{\dfrac{2E_{pr}}k}$

todo se moverá con respecto a un centro de masa que en equilibrio la posición de A será

$A_A=\dfrac{m_B}{m_A+m_B}\Delta x=\dfrac{m_B}{m_A+m_B}\sqrt{\dfrac{2E_{pr}}k}$

y la de B

$A_B=\dfrac{m_A}{m_A+m_B}\Delta x=\dfrac{m_A}{m_A+m_B}\sqrt{\dfrac{2E_{pr}}k}$


pero como las oscilaciones no siguen exactamente el eje $\vec i$ ni $\vec j$ y para $t=0$ $\Delta x=0$


la trayectoria paramétrica de las masas A y B pueden ser escritas entonces como

$\vec X_{A(t)}=(V_0 t-A_A\cos \theta \sin (\omega t)\vec i-A_A\sin \theta \sin (\omega t)\vec j)$

$\vec X_{B(t)}=(V_0 t+A_B\cos \theta \sin (\omega t)\vec i+A_B\sin \theta \sin (\omega t)\vec j)$


Estoy falto de práctica pero creo por alli anda la cosa, y aunque puede que me haya equivocado en algún concepto, o no, seguro que mis compañeros foreros encontrarán formas más didácticas de hacerlo o explicarlo.

Digo esto pues mientras vengo haciendo vista previa, veo que arivasm ha contestado, siempre mas claro y conciso que yo,

Aunque yo no he considerado que la gravedad influya para tener caída libre, pues la he considerado normal al sistema, sino fuera así todavía es mucho mas complicada aún la solución, pues hay que hallar un equilibrio entre la fuerza del resorte y el peso de las masas en la dirección $\vec j$ por ejemplo.



Saludos $\mathbb {R}^3$

[arivasm]

Re: Problema particulas unidas por un resorte.

En el desarrollo del apartado b) hay que tener en cuenta que las masas se desprenderán del resorte en el instante $\dst t=\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}$. Por tanto, la ecuación de movimiento de las mismas requiere de hacer la distinción $t\leq T/2$ y $t\geq T/2$.

La verdad es que para ese apartado es infinitamente más cómodo encontrar las ecuaciones de movimiento en el SR del cdm y sumarles la ecuación de éste.

Por cierto que antes no comenté que para resolver el apartado a) hay que tener en cuenta que durante ese tiempo T/2 el cdm ya habrá caído libremente, si es que lo hace (¿cómo está orientado el dibujo? ¿está el sistema sobre una mesa o semejante o está cayendo?). Suele convenir que se copien los enunciados tal como aparecen, para evitar este tipo de confusiones.

[PatricioRey]

Re: Problema particulas unidas por un resorte.

Hola muchas gracias por contestar. El enunciado lo copie tal cual estaba, pero yo creo que el sistema se encuentra en el espacio y no cayendo, por lo que el peso no afectaría al movimiento, sino la solución seria mucho mas complicada y no creo que vaya por ese lado.

[Richard R Richard]

Re: Problema particulas unidas por un resorte.

En el desarrollo del apartado b) hay que tener en cuenta que las masas se desprenderán del resorte en el instante $\dst t=\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}$. Por tanto, la ecuación de movimiento de las mismas requiere de hacer la distinción $t\leq T/2$ y $t\geq T/2$.

Entiendo a que te refieres, pero creo que no es así, arivasm, es que el enunciado del segundo apartado dice que no se separan las masas del resorte.

Si la constante del resorte es k y los extremos del mismo estan unidos a cada particula describa con ecuaciones el movimiento subsecuente de las mismas.

saludos $\mathbb {R}^3<br />$

[arivasm]

Re: Problema particulas unidas por un resorte.

Tienes razón. Eso simplifica mucho las cosas, pues se trata de un m.a.s. al que hay que componer el movimiento del cdm. Con respecto a la caída, el enunciado es confuso al mencionar los pesos de las partículas, en lugar de sus masas.

[PatricioRey]

Re: Problema particulas unidas por un resorte.

Gracias por responder, pude resolver el problema. El segundo inciso lo hice usando la masa reducida y eso te lleva a un sistema de masa y resorte típico con la misma constante k del resorte.