1r ciclo Problema Dinámica

[The Higgs Particle]

Tenemos una roca de masa $m_r$ que cae una altura $h$ sobre una estaca (de masa $m_e$) que se encuentra clavada en el suelo formando 90º con la horizontal. Sabiendo que el suelo tiene un coeficiente de rozamiento (al ser seccionado transversalmente) de $\mu$, ¿cuál será la altura $y$ que se hunde la estaca? Nota: No hacer por energía.

Calculo la fuerza que la roca ejerce sobre la estaca: $\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt }$

Como estoy en sólo una dirección (la vertical Y), omito la notación vectorial. Así: $F = \frac{dp}{dt} \to F \cdot dt = m_e \cdot dv$

Integrando en ambos lados: $\int F \cdot dt = m_e \cdot \int dv$

Puesto que el tiempo en el que la roca y la estaca están en contacto es mínimo, podemos considerar la fuerza constante: $F \cdot t = m_e \cdot \Delta v_e$ (1)
Donde $\Delta v_e$ representa la variación de la velocidad de la estaca: $\Delta v_e = v_e(f) - v_e(i) = v_e(f)$ (tras el choque).




Aplicando el principio de conservación del momento lineal (el momento inicial es el instante previo al choque):

$\vec{p_0} = \vec{p_f} \to m_r \cdot v_r(i) + m_e \cdot v_e(i) = m_r \cdot v_r(f) + m_e \cdot v_e(f) \to m_r \cdot v_r = m_e \cdot v_e$

Además, al haberse dejado caer la roca, cuando haya descendido $h$, su velocidad será $v_r = \sqrt{2gh}$

De esta forma: $m_r \cdot \sqrt{2gh} = m_e \cdot v_e \to v_e = \frac{m_r \cdot \sqrt{2gh}}{m_e}$ (2)




Incluyendo (2) en (1), tenemos:

$F = m_e \cdot \frac{m_r \cdot \sqrt{2gh}}{t \cdot m_e} = m_r/t \cdot \sqrt{2gh}$

Esta expresión representa la fuerza que ejerce la roca sobre la estaca, y provoca una aceleración en la estaca igual a:

$m_r/t \cdot \sqrt{2gh} = m_e \cdot a_1 \to a_1 = \frac{m_r \cdot \sqrt{2gh}}{t \cdot m_e}$. O, en notación vectorial: $\vec{a_1} = - \frac{m_r \cdot \sqrt{2gh}}{t \cdot m_e} \cdot \vec{j}$

Al mismo tiempo, en su avance, la estaca se va a encontrar con la oposición del suelo, que ejerce una fuerza de rozamiento que también le imprime una aceleración:
$F_{roz} = \mu \cdot N \to m_eg \cdot \mu = m_e \cdot a_2 \to a_2 = \mu g$. En notación vectorial: $\vec{a_2} = \mu g \cdot \vec{j}$

De esta forma, el cuerpo va a estar sometido a una aceleración total igual a $\vec{a_T} = \vec{a_1} + \vec{a_2} \to a_T = a_2 - a_1 = \mu g - \frac{m_r \cdot \sqrt{2gh}}{t \cdot m_e}$




Cuando se pare, su $v_f = 0 \to v_f^2 = v_0^2 -2 \cdot a_T \cdot y \to y = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{(m_r \cdot \sqrt{2gh}/m_e)^2}{2 \cdot (\mu g - \frac{m_r \cdot \sqrt{2gh}}{t \cdot m_e})}$

Así:

$\boxed{y =\frac{ m_r^2 \cdot gh}{m_e^2 \cdot (\mu g - \frac{m_r \cdot \sqrt{2gh}}{t \cdot m_e}) }}$

[Richard R Richard]

Re: Problema Dinámica

Te paso mi idea sobre como encararlo,

básicamente diferimos en

$\vec{p_0} = \vec{p_f} \to m_r \cdot v_r(i) + m_e \cdot v_e(i) = m_r \cdot v_r(f) + m_e \cdot v_e(f) \to m_r \cdot v_r = m_e \cdot v_e$

tu supones que la piedra queda con velocidad final =0 pero la piedra no tendrá esa velocidad a menos que sucedan dos cosas , que supongas un choque elástico y que la masa de la estaca sea igual a la de la roca.

Por cinematica, calculo la velocidad con que impacta la piedra en la estaca,

$v_{pi}=\sqrt{h 2 g}$

luego supongo la conservación de la cantidad de movimiento en el choque, y tienes dos caminos, suponer el choque elastico o inelastico, vamos por el elástico

$m_pv_{pi}=-m_pv_{pf}+m_eV_e$

al suponerlo elastico, para calcular $V_e$ debo hacer consideraciones energéticas puedo darle velocidad a la estaca.

$\frac 12 m_pv_{pi}^2=\frac 12 m_pv_{pf}^2+\frac 12 m_eV_e^2$ pero estos calculos me parece que son independiente de resolver por energia....(resuelves el choque)

luego la roca puede hacer una fuerza de rozamiento, en base a la normal,que no puede ser superior a su masa por la aceleración de la gravedad.

$<br /> V_e=2 \dfrac{m_p}{m_e+m_p}\sqrt{h 2 g}$

por lo que $F_r=-\mu m_eg$



Edito : revise los calculos y me di cuanta que no considere que la gravedad sigue actuando sobre la estaca

$a_e=g- \dfrac {F_r}{m_e}=g -\mu g=g(1-\mu)$

es claro que si $\mu \leq 1$ la estaca nunca se detendrá.


$y= \dfrac{V_e^2}{2a_e}=\dfrac{4h} {1-\mu}\left (\dfrac{m_p}{m_e+m_p}\right )^2$


Saludos $\mathbb R^3$

[carmelo]

Re: Problema Dinámica

Hola

A mi me queda una duda respecto a este ejercicio, y es como se relaciona la fuerza retardadora con el coeficiente de rozamiento dado. No suena muy lógico que sea proporcional al peso de la estaca. Y si no es posible establecer esta relación tampoco es posible resolver el ejercicio.

Es decir que no estoy de acuerdo con que sea $F_r = \mu m_e g$


Saludos
Carmelo

[Richard R Richard]

Re: Problema Dinámica

También lo pense al hacerlo pero....imagina que clavas la estaca en algo muy duro..... que es lo que cambia el peso o $\mu$?


Saludos $\mathbb R^3$

[felmon38]

Re: Problema Dinámica

Creo que la fuerza de rozamiento, de acuerdo con el modelo de rozamiento seco, debe ser: F=μ.p.S, en donde p es la presión que el suelo ejerce sobre la estaca y S la superficie de contacto (variable según se va metiendo la estaca). Claro que p hay qe calcularla según la teoría de la Elasticidad.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Problema Dinámica

Creo que la fuerza de rozamiento, de acuerdo con el modelo de rozamiento seco, debe ser: F=μ.p.S,

Es decir que no estoy de acuerdo con que sea $F_r = \mu m_e g$

$\mu$ es la relación que existe entre la fuerza paralela que se opone al movimiento y la resultante de las fuerzas en dirección perpendicular al movimiento

$\mu=\dfrac{F_{\parallel}}{F_{\perp}}$

Entonces valdra la pena analizar de que dependera entonces la fuerza que se opone para ver sies cierto lo que escribi.

si la presión aumenta , es que intentamos penetrar en un cuerpo modulo de elasticidad mas elevado, podemos ver una analogia hasta en la unidades de una u otra magnitud.
entonces $F_r\propto p S=\dfrac NS S\propto E_t= \dfrac {\sigma_t}{\epsilon} S$

con ello vemos que a la misma presión si hay mayor superficie mayor fuerza aplica esta presión obviamente.

tambien podemos efectuar el mismo analisis a la estaca , una estaca con menor modulo se comprimira mas. $E_s$

llamemos $r_t$ a la rugosidad de la superficie de la tierra y $r_e$ a la de la estaca ambas son proporcionales al rozamiento

Luego hay que analizar que pasaria con el peso

una estaca mas densa indentara mas una superficie blanda que una menos densa del mismo tamaño ergo el masa influye proporcionalmente. $F\propto m=\rho V$

si comparamos casos similares con mas o menos gravedad la que tenga mayor gravedad penetrara mas facilmente $F\propto g$

y luego las condiciones de rugosidad que influyen en el valor de $\mu$ factores que pasamos por alto y que son clave , si la estaca tiene punta , que angulo tiene dicha punta, el diametro de la estaca (si fuera de seccion circular), y su superficie.

de la cinematica sabemos que si

$\mu=0$ la estaca se clavara atravesando la tierra sin resistencia, acelerada por el valor de g en funcion del radio de la tierra y obtendriamos la ecuación diferencial de un MAS para describir su trayectoria

$0>\mu>1$ la estaca se clavara del mismo modo pero en este caso la aceleración $g(1-\mu)$ por lo que la ecuacion diferencial correspondería a MA amortiguado

$\mu =1$ si la estaca esta quieta permanecerá inmóvil, pero si se la mueve inicialmente con velocidad v continuara con esa velocidad hasta el centro de la tierra, luego oscilara amortiguadamente.

pero si $\mu>1$ el rozamiento sera mayor que el peso pro lo tanto su movimiento se detendrá en algún momento dependiendo de las condiciones iniciales de velocidad.

Todo combina para afirmar

$F_r=\mu g \rho L S$

donde $\mu =f(E_t,S, E_s,r_e,r_t)=K E_t S E_sr_er_t$

Sencillamente $F_r=\mu mg$

Saludos $\mathbb R^3$

[carmelo]

Re: Problema Dinámica

Hola.

Pensemos en la siguiente situación:


Si intentamos clavar cualquiera de los dos clavos una misma profundidad (no estoy hablando de clavarlos completamente), la fuerza de resistencia que vamos a tener que vencer es la misma. En tanto que uno es digamos el doble de pesado que el otro. Por lo tanto insisto, no me parece que la fuerza de resistencia depende del peso de la estaca en el ejercicio original o del clavo en este caso.

Me inclino mucho mas por la expresión aportada por Felmon, la cual depende de la presión lateral ejercida sobre el clavo y por lo tanto debería de ser necesario mas fuerza cuando estamos terminando de clavar el clavo que cuando vamos por la mitad por ejemplo). Esto también me parece bastante lógico.


Saludos
Carmelo

[Richard R Richard]

Re: Problema Dinámica

Hagamos el mismo ejemplo sobre una superficie de geletina, existirá una diferencia de pesos de los clavos donde el clavo de mayor peso se clavara solo por la acción de su propio peso y el otro no.

Yo entiendo el punto que aporta felmon, si hacemos una estaca hueca, del mismo tamaño, y del mismo material, la resistencia que le opondrá el exterior, apuntará a ser la misma, si lograramos una estaca 5 veces mas liviana en el mismo volumen, no encontrariamos que el rozamiento de una es 5 veces el rozamiento de la otra, como no es cierto , mi forma de verlo también hace agua.

la solución sería que fuera combinación lineal ambas cosas

$F_r= S K_1f_1(E_t, E_s,r_e,r_t)+gVK_2f_2(\rho)+K_3$

donde $K_1>>K_2$ cuando la superficie de contacto aumenta, el aporte del segundo sumando es desprecible con respecto al otro.

pero $K_3$ es algo que no hemos tenido en cuenta y es la forma de la punta, un clavo sin punta ( un cilíndro) no penetra tan facilmente, que uno con 4 biseles, incluso este es mejor que uno cónico, y este factor incluso es independiente del material del clavo.

Pero volviendo a la realidad del problema, la sencillez de resolución apunta a la proporcionalidad. pues de todo esto no hay datos, (ni de forma, volumen, materiales, etc)

[carmelo]

Re: Problema Dinámica

Hagamos el mismo ejemplo sobre una superficie de geletina, existirá una diferencia de pesos de los clavos donde el clavo de mayor peso se clavara solo por la acción de su propio peso y el otro no.

En ambos casos existirá la misma fuerza retardadora. Que se clave o no depende de que superemos dicha fuerza. Si el peso es mayor, se clavará solo, sino no.

Saludos
Carmelo

[Richard R Richard]

Re: Problema Dinámica

Aha tienes razon Carmelo

he escrito$\mu=\dfrac{F_{\parallel}}{F_{\perp}}$ sin darme cuenta que el peso esta en la dirección paralela al movimiento, acostumbrado a que es perpendicular u oblicuo, la unica fuerza que esta en perpendicular al movimiento sería la presión, o las fuerzas elásticas que dependeran del modulo de young de ambos materiales.

En definitiva dar solo el dato $\mu$ sin poder calcular la normal al movimiento lo hace irresoluble.

aunque a mi me quedan dudas sobre $K_3$ o el factor de forma este es mas facil de vencerlo si el la estaca tiene mas masa.osea aplico menos fuerza para lograr el mismo movimiento no es acaso una medida del rozamiento?

[The Higgs Particle]

Re: Problema Dinámica

Muchas gracias a todos por contestar y lo siento por no haber respondido antes, pero entre exámenes y prácticas de la universidad me ha sido imposible.

Sobre la fuerza de rozamiento, la verdad es que no tengo ni idea de cómo va, sólo conozco la expresión $\vec F_{roz} = - \mu N \cdot \vec u_{desplazamiento}$, y tampoco nos han dicho nada más, por lo que supongo que, en un caso simplificado para nosotros es así, aunque en la realidad no sea así, sino $\mu pS$.

Muchas gracias a todos

tu supones que la piedra queda con velocidad final =0 pero la piedra no tendrá esa velocidad a menos que sucedan dos cosas , que supongas un choque elástico y que la masa de la estaca sea igual a la de la roca

Esto no lo entiendo. ¿Por qué no se para? ¿Porque continúa moviéndose hacia abajo junto con la estaca formando entre ambas una unidad?

[Richard R Richard]

Re: Problema Dinámica

Esto no lo entiendo. ¿Por qué no se para? ¿Porque continúa moviéndose hacia abajo junto con la estaca formando entre ambas una unidad?

si la piedra continuara moviéndose junto con la estaca a la misma velocidad, sería el caso de un choque inelástico,
pero yo no lo he resuelto de esa manera, yo he supuesto un choque elástico,

• la piedra puede rebotar y volver a ascender si su masa es menor que la de la estaca,
• queda quieta o con velocidad nula si ambas masas son iguales,
• o continua descendiendo con menor velocidad que la estaca si su masa es mayor que la de la estaca.

esto surge de resolver el choque de la siguiente manera

$m_pv_{pi}=-m_pv_{pf}+m_eV_e$


$\frac 12 m_pv_{pi}^2=\frac 12 m_pv_{pf}^2+\frac 12 m_eV_e^2$


$V_e=2 \dfrac{m_p}{m_e+m_p}\sqrt{h 2 g}$

si asignas valores a $m_p$ $m_e$ y $h$ veras que si despejas $v_{pf}$ puede tomar cualquiera de esas tres opciones.

tu formula

$\vec{p_0} = \vec{p_f} \to m_r \cdot v_r(i) + m_e \cdot v_e(i) = m_r \cdot v_r(f) + m_e \cdot v_e(f) \to m_r \cdot v_r = m_e \cdot v_e$

El planteo de la conservación del momento lineal es correcto. Pero laforma en que lo has aplicado es incorrecto en la mayoria de los casos, solo será cierto si la velocidad final de la piedra es nula $v_{pf}=0$ y esto sucede si el choque es elastico como bien has supuesto,( pues las masas no quedan unidas), pero deberá suceder también que las dos masas sean iguales $m_r=m_e=m_p$ para que usemos la misma notación, pues sino no se conservaria la energia cinética.



Saludos $\mathbb R^3$