Otras carreras Velocidad y aceleracion angular de cuerpos rigidos

[Estudiante_2000]

Hola. Quisiera de favor que me asesoraran para poder resolver este problema. De antemano muchas gracias.
Determine la aceleración angular AB para θ=90° si ω_OB=0 y α_OB=3rad/s² en la posición que se indica.

[Richard R Richard]

Mmmmuy fácil no es

primero averiguaría cuánto vale $\theta$ en el instante inicial, usando trigonometría. como el triángulo AOB es isósceles puede decir que el ángulo $\alpha =\angle ABO=\angle BAO$

luego el otro ángulo es $\gamma=180-2\alpha$ y $\theta_0= 90-\gamma$

y que $\tan\alpha=\dfrac{\overline{AB}}{2\overline{OB}}$

si la aceleración angular del brazo OB es constante puedes calcular la posición del punto B a cada instante pues

$$\theta=\theta_0+\frac12 \alpha_{OB}^2=$$

con eso puedes calcular en que tiempo llega hasta $\theta =90$ y la velocidad angular de esa barra en ese instante $\omega_{AB}$

lo que tienes que hacer es encontrar una función que exprese el angulo de la barra AB en función del tiempo y luego derivarlo 2 veces, luego evaluar esa función en el tiempo t que hemos calculado

$$x_B=400 \cos\theta$$

$$y_B=400 \sin\theta$$

$$(x_A-x_B)^2+(400-y_B)^2=500^2$$

llegas a una función del tiempo

el ángulo $\beta(t)$ que quieres averiguar en todo momento es igual a $\beta(t)=\arctan\left(\dfrac{400-y_B(t)}{ x_A(t)-x_B(t)}\right)$

la derivada segunda respecto del tiempo de esta expresión evaluada en el tiempo t es lo que estás buscando.

recuerda usar la regla de la cadena, cuando estés derivando.

[Estudiante_2000]

Muchas gracias...

[JCB]

Hola a tod@s.

Es un ejercicio muy interesante, aunque lo tenía totalmente olvidado, y he tenido que repasar mis apuntes apolillados del método de las velocidades y aceleraciones relativas.

1) En la situación del dibujo expuesto, he empezado calculando $\theta$. Aplicando el teorema del coseno, $\theta=1,3503 \ rad$. Luego $\dfrac{\pi}{2}-\theta=0,2205 \ rad$.

Considerando la aceleración angular de la manivela OB constante, y partiendo del reposo, la velocidad angular de esta cuando está en posición horizontal, es

$\omega_{OB}=\sqrt{2\alpha\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)}=1,1503 \ rad/s$, $\overrightarrow{\omega_{OB}}=-1,1503 \vec{k} \ (rad/s)$.

La velocidad de B es $\overrightarrow{v_B}=-\omega_{OB}OB\vec \jmath=-0,4601\vec \jmath \ (m/s)$.


2) Aplico el método de las velocidades relativas cuando la manivela está en posición horizontal.

Previamente he calculado el ángulo $\widehat{OBA}=0,9273 \ rad$, y las componentes del vector posición $\overrightarrow{BA}$, $BA_x=-BAcos\widehat{OBA}$, $BA_y=BAsen\widehat{OBA}$.

$\overrightarrow{v_A}=\overrightarrow{v_B}+\overrightarrow{\omega_{BA}}\times\overrightarrow{BA}=\omega_{BA}BA_y\vec \imath+(\omega_{BA}BA_x-\omega_{OB}OB)\vec \jmath$. Como $\overrightarrow{v_A}$ solo tiene componente en X, se debe cumplir que $\omega_{BA}BA_x-\omega_{OB}OB=0$,

$\omega_{BA}=\dfrac{\omega_{OB}OB}{BA_x}=1,5337 \ rad/s$, $\overrightarrow{\omega_{BA}}=-1,5337 \vec{k} \ (rad/s)$.

$\overrightarrow{v_A}=\omega_{BA}BA_y\vec \imath=0,6135\vec \imath \ (m/s)$.


3) De manera similar a 2), aplicando el mismo método para las aceleraciones:

$\overrightarrow{a_B}=\overrightarrow{a_O}+\overrightarrow{\alpha_{OB}}\times\overrightarrow{OB}-\omega_{OB}^2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{\alpha_{OB}}\times\overrightarrow{OB}-\omega_{OB}^2\overrightarrow{OB}$.

Después, aún te queda aplicar $\overrightarrow{a_A}=\overrightarrow{a_B}+\overrightarrow{\alpha_{BA}}\times\overrightarrow{BA}-\omega_{BA}^2\overrightarrow{BA}$.

Y vas haciendo …

Si alguien ve algún error, que me disculpe, porque son muchos años de no practicar.

Saludos cordiales,
JCB.