Secundaria trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

[franco_c2]

Hola! ¿Cómo se calcula el trabajo para este caso? tengo algunas inquietudes sobre este problema (donde dice "resorte" es "cordón", error de traducción supongo )



¿Es relevante el dato que da sobre el aumento de la tensión? o sea, lo podría haber calculado? y si no es así de qué depende la nueva tensión?

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Bueno, mientras iba escribiendo el hilo me acordé del teorema trabajo-energía (me lo había pasado por alto) y di con la respuesta correcta: 60 J
De todas formas siguen en pie mis preguntas. Con el dato de la tensión pude calcular la nueva velocidad y así el cambio de energía cinética. Pero, ¿hay alguna manera de calcular la tensión si se achica el radio? o depende de la forma en que se lo hace?. Y sin el teorema de trabajo-energía sé que tal vez sea complicado calcular el trabajo; ¿cómo se haría en este caso?

[visitante20160513]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

Bueno, para hacerlo de la forma que quieres sería necesario saber la ley que rige la fuerza que se aplica cuando se tira del cordón que es desconocida, aunque por el teorema de conservación de la energía es fácil resolverlo. El resultado nos dice que el trabajo no depende de la forma en que se realice el cambio siempre que las posiciones y velocidades inicial y final no varíen, aunque admitiendo (lo que es mucho admitir) que la fuerza aplicada compensa la tensión de la cuerda y que por lo tanto ésta se desplaza a velocidad constante podría calcularse. El problema resuelto así podría complicarse bastante porque la trayectoria del objeto ya no sería una circunferencia sino una espiral y no estoy seguro de que eso nos lleve a un cálculo sencillo.

Salu2, Jabato.

[carmelo]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

Hola.

La tensión es la fuerza centrípeta. Si cambia el radio, cambia la tensión. Por lo tanto $T=\dfrac{m v^2}{r}$
El trabajo efectuado por la tensión es igual a la variación de energía mecánica (cinética en este caso) dado que no existen fuerzas no conservativas. La manera en que apliquemos la tensión entre el estado final e inicial no importa.

Saludos
Carmelo

También se conserva el momento angular. Es otra forma de calcular la velocidad. Sobran datos (por lo menos no son incompatibles).

[visitante20160513]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

No es correcto carmelo porque si la cuerda esta acortándose la trayectoria ya no es circular sino espiral y entonces tu ecuación no funciona.

[Alriga]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

La tensión es la fuerza centrípeta. Si cambia el radio, cambia la tensión. Por lo tanto $T=\dfrac{m v^2}{r}$
El trabajo efectuado por la tensión es igual a la variación de energía mecánica (cinética en este caso) dado que no existen fuerzas no conservativas. La manera en que apliquemos la tensión entre el estado final e inicial no importa.

Yo también lo veo así.

No es correcto carmelo porque si la cuerda esta acortándose la trayectoria ya no es circular sino espiral y entonces tu ecuación no funciona.

Entiendo que no. Al no haber fuerzas disipativas según el enunciado, (rozamiento), el trabajo realizado por la tensión de la cuerda no depende del camino, es igual que la trayectoria sea espiral, parabólica o a saltos,... el trabajo realizado solo depende de la energía final y de la energía inicial y es la diferencia entre ambas. (El inicio es un movimiento circular uniforme y el final también, aunque haya habido movimiento en espiral entre medio de ambos)

Para calcular la velocidad $v_2$ hay dos vías como dice Carmelo:

1. Como la fuerza que actua sobre la masa es central se conserva el momento cinético

$r_2 v_2 = r_1 v_1$

$v_2=10 \dfrac{0.5}{0.3}=16.667 \ m/s$

2. Aplicando el dato del cociente de tensiones que nos dan:

$T_1=m \dfrac{v_1^2}{r_1}=0.675\dfrac{10^2}{0.5}=135 \ N$ Que es la respuesta al apartado a)

$T_2=m \dfrac{v_2^2}{r_2}$

$\dfrac{T_2}{T_1}=4.63$

Haciendo operaciones

$v_2=10 \ \sqrt{4.63 \ \dfrac{0.3}{0.5}}=16.667 \ m/s$

El trabajo realizado por la tensión:

$E_2-E_1=\dfrac 1 2 m (v_2^2 - v_1^2)=\dfrac 1 2 \ 0.675 \ (16.667^2 - 10^2)=60 \ J$

Saludos.

[arivasm]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

Al no haber fuerzas disipativas según el enunciado

El enunciado dice "al jalar hacia abajo del cordón", luego sí intervienen fuerzas no conservativas. Es obvio que al aumentar la energía del sistema en 60 J necesariamente habrá tenido que intervenir una fuente externa que la aporte.

Si aplicamos la 2ª ley a la cuerda y la masa de ésta es despreciable enseguida vemos que la fuerza aplicada es igual a la tensión de la cuerda, de manera que el trabajo realizado por dicha fuerza será de la forma $W=\int_{r_1}^{r_2}T\dd r$ (la mejor forma de ver esto consiste en pensar en el extremo de la cuerda que no está unido a la masa que gira).

Como se ha dicho, la trayectoria durante el cambio de radio no será circular, sino una espiral cuya forma concreta dependerá de cómo sea $T(r)$. El sentido de la expresión anterior no sería otro que en los productos $\vec T\cdot\dd \vec l$ podemos descomponer los desplazamientos infinitesimales $\dd \vec l$ en una parte radial y otra transversal, pero sólo interviene en el trabajo la radial por el sentido también radial de la tensión.

Así pues, podríamos calcular el trabajo construyendo una $T(r)$ que fuese compatible con el hecho de que debe cumplirse que $\dot r=0$ y $\ddot r=0$ en las situaciones inicial y final (pero no en las intermedias). Es decir, no vale cualquier $T(r)$, pues por la 2ª ley aplicada a la masa que gira se cumplirá, además, que $T(r)=m(r\dot\theta^2-\ddot r)$ y también $r\ddot \theta+2\dot r\dot\theta=0$, lo que, por cierto, ilustra que quizá no sea tan fácil llevar a la práctica el tránsito que propone el enunciado.

Quizá un reto bonito sea el de plantearse cómo podría ser tal $T(r)$: imagino que simplemente se tratará de elegir unas $\theta(t)$ y $r(t)$ que lo satisfagan y llevaras a la expresión anterior, aunque puede que eliminar el tiempo para llegar a una $T(r)$ sea lo que incomode.

[visitante20160513]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

El enunciado resulta en mi opinión algo confuso o al menos no da demasiadas alternativas porque no dice como varía la fuerza ni como varía la velocidad durante la transición entre los estados inicial y final, lo que impide poder calcular el trabajo mientras la cuerda se está desplazando, aunque sí aporta datos suficientes para calcular la fuerza y la velocidad en dichos estados supuestos estos inicial y final, por lo tanto solo puede resolverse aplicando el teorema de conservación de la energía. El trabajo realizado será necesariamente la variación entre las energías cinéticas inicial y final, ya que no hay variación de la energía potencial. La velocidad en el estado inicial es dato lo que nos permite calcular la tensión de la cuerda y la velocidad en el estado final puede calcularse porque la tensión de la cuerda es conocida. Pero no sabemos ni podemos averiguar lo que ocurre durante la transición entre ambos estados, aunque podemos asumir algunas hipótesis, os propongo una que resulta sencilla:

a).- La velocidad angular se mantiene constante durante la transición entre ambos estados y lo único que varía es el radio de giro. En ese caso sabemos que la fuerza centrífuga vale en todo momento:

$F_c=m\omega^2r$

y por lo tanto para jalar la cuerda será necesario ejercer una fuerza, $F_j$, que supere a ese valor en todo momento, sabiendo además que si la posición final resulta ser de equilibrio la fuerza resultante en el instante final deberá anularse. Se deberá cumplir entonces la siguiente ecuación:

$F_j-F_c=mr''$

Salu2, Jabato.

[carmelo]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

..... y la velocidad en el estado final puede calcularse porque la tensión de la cuerda es conocida.

La velocidad final se puede calcular a partir de la conservación del momento angular. No es necesario el dato que se da en el ejercicio.

..... . Pero no sabemos ni podemos averiguar lo que ocurre durante la transición entre ambos estados.

No es necesario. Sólo nos importan los estados inicial y final, para calcular la tensión.

Saludos
Carmelo

[visitante20160513]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

¿Estas seguro carmelo que el momento angular se conserva? Si existe una fuerza exterior que realiza un trabajo no podemos afirmar tal cosa.


Salu2, Jabato.

[carmelo]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

Claro.

No sabemos como es la expresión de la fuerza. Pero si sabemos que es radial, por lo tanto la variación en el momento angular respecto del centro es nula.


Saludos
Carmelo

[Richard R Richard]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

hay algo en el enunciado que me hace ruido, "tiene el efecto de multiplicar la tensión original en el resorte en 4.63" de que resorte habla, no era un cordón,? no sea cosa que haya algo que no vemos sin un esquema.... y lo que planteamos no sirva de nada


primero hay que plantear la conservación como dice carmelo

$L_i=L_f=mr_iv_i=mr_fv_f$

la velocidad en la trayectoria circular de $r_f$ es $v_f=\dfrac{r_iv_i}{r_f}<br />$
de aqui para cualquier radio r $L(r)=L_i=mrV(r)$ entonces $V(r)=\dfrac{r_iv_i}{r}$

si la tensión al inicio es

$T_i=\dfrac{mv_i^2}{r_i}$

y la tensión final es

$T_f=\dfrac{mv_f^2}{r_f}$

entonces

$\dfrac{T_f}{T_i}=\dfrac{\dfrac{mv_f^2}{r_f}}{\dfrac{mv_i^2}{r_i}}=\dfrac{v_f^2r_i}{v_i^2r_f}=\dfrac{(\dfrac{r_iv_i}{r_f})^2r_i}{v_i^2r_f}=\dfrac{r_i^3}{r_f^3}=4.63$


Bueno eso es lo facil

La energia mecánica no se conserva, pues hay trabajo de una fuerza exterior y de la tensión.

como el trabajo de estas fuerzas es independiente de la trayectoria seguida e igual a la variación de energía mecánica

$E_{mi}+W_{f}+W_{T}=E_{m_f}$

pero sabemos que en todo momento si vamos dando decrementos infinitesimales (no interesa a que velocidad radial me mueva pues la energia solo depende de la posición inicial y final y de los estados de movimiento inicial y final, entonces para cualquier radio la tensión sera


$T(r)=\dfrac{mV(r)^2}{r}$

como dice arivasm hay un trabajo que hace esta tension $W_{T}$

$<br /> W_T=\dst\int^{r_f}_{r_i} T(r)\dd r=\int^{r_f}_{r_i} \dfrac{mV(r)^2}{r}\dd r=\int^{r_f}_{r_i} \dfrac{m(\dfrac{r_iv_i}{r})^2}{r}\dd r$


Edito me habia equivocado al hacer la integral daban -120 y 180 J que ahora es
$<br /> <br /> W_T=\dst mr_i^2v_i^2\int^{r_f}_{r_i} \dfrac1{r^3}\dd r=-mr_i^2v_i^2\dfrac1{2r^2}|^{r_f}_{r_i}=\frac m2 r_i^2v_i^2(\dfrac1{r_i^2}-\dfrac1{r_f^2})=-60 J$

entonces

$W_f=E_{m_f}-W_{T}-E_{mi}=E_{c_f}-W_{T}-E_{ci}=$$\frac12mv_f^2-\frac12mv_i^2-W_{T}=\dfrac 1 2 m (v_2^2 - v_1^2)-W_{T}=\dfrac 1 2 0.675 (16.667^2 - 10^2)--60 J=120 J$


que opinan


Saludos $\mathbb R^3$

[visitante20160513]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

Yo creo que en el enunciado existen datos suficientes para poder analizar de forma completa los estados inicial y final, de manera que podemos averiguar cuanto vale en cada uno de ellos los valores de la velocidad, la velocidad angular, el momento angular, y la tensión de la cuerda (siempre suponiendo que el sistema se encuentra en estado de equilibrio en ellos). Si vemos los valores de dichas magnitudes podremos establecer las condiciones de las que parte el sistema y a las que debe llegar. El problema es que dichas condiciones se establecen en estado de equilibrio, pero la transición entre dichos estados no se produce como una sucesión de estados de equilibrio, aunque podría considerarse como hipótesis que dicha transición es una sucesión de estados de equilibrio pero sabemos por termodinámica que ningún sistema evoluciona de esa forma. Creo que es algo parecido a la hipótesis que se hace en termodinámica para los procesos reversibles, es decir la transición entre dos estados de un sistema se produce como sucesión de estados de equilibrio, pero sabemos que tal hipótesis es ficticia, ningún sistema evoluciona de forma reversible, aunque puede suponerse tal cosa y llegar a un resultado, aunque de una validez cuestionable. De forma que el trabajo que realiza la fuerza aplicada debería ser como mínimo el calculado mediante el teorema de conservación de la energía, pero creo que podría ser mayor. No se que os parece mi reflexión al respecto pero sin llegar a una conclusión válida de como debe evolucionar el sistema entre los estados inicial y final no creo que seamos capaces de resolverlo de una forma suficientemente justificada.

Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

El problema es que dichas condiciones se establecen en estado de equilibrio, pero la transición entre dichos estados no se produce como una sucesión de estados de equilibrio, aunque podría considerarse como hipótesis que dicha transición es una sucesión de estados de equilibrio pero sabemos por termodinámica que ningún sistema evoluciona de esa forma.

El resultado del problema solo depende de las condiciones iniciales y finales, y no de la trayectoria, ya que todas las fuerzas son conservativas. Hay infinitas trayectorias a seguir, dependiendo de la función de la fuerza F =f(t) que se escoja. Si elegimos pequeños saltos en el radio infinitesimales, no esta mal considerar que la tensión es igual a la fuerza centrípeta para cualquier radio.

El hecho de decir que no hay rozamiento ya nos predispone a resolverlo en condiciones ideales, tal cual sería la analogía para la evolución de un sistema termodinámico reversible.


Mi duda sigue estando en el enunciado,si bien franco lo aclara, no sea cosa que también haya que calcular energía potencial elástica, y considerar que el radio final de giro es la suma del $\Delta x$ adicional del resorte mas la diferencia entre el radio original y lo que se ha jalado del cordon.

google me dice que esta sacado del resnick , encontre la solución y dice 60 J y solo hace la primer integral. por lo que ahora me entra la duda es si por ambas formas de resolver se llega al mismo resultado, o el resultado es la suma de ambas

[visitante20160513]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

No creo que pueda establecerse de una forma clara que todas las fuerzas sean conservativas, en estado de equilibrio claramente sí, pero el enunciado afirma que se "jala del cordon" y eso me dice que la fuerza aplicada pueda no serlo. Un símil sería cuando se tira hacia arriba de un objeto sometido al campo gravitatorio de valor $g$ constante. Si se le hace subir a velocidad constante el trabajo necesario sería la diferencia de energías potenciales entre los estados inicial y final, pero sabemos por definición que debe haber aceleraciones en juego y por lo tanto sería necesario un cálculo para estar seguros.

Por ejemplo, inicialmente el cuerpo asciende con aceleración constante hasta alcanzar una cierta velocidad que se mantiene también constante durante la mayor parte del recorrido para a partir de una cierta posición finalizar con una aceleración de frenado (negativa) que varía con el cuadrado de la velocidad. Por supuesto que la fuerza aplicada sería la necesaria para conseguir este efecto. ¿Podemos afirmar que el trabajo realizado para desplazar el objeto debería ser independiente del camino recorrido? Habría que hacer el cálculo.

Salu2, Jabato.

[felmon38]

Re: trabajo por una fuerza variable - caso bidimensional

R³, sólo se pide el trabajo que el cordón ejerce sobre el cuerpo.
Saludos