Secundaria Energía Potencial

[The Higgs Particle]

El otro día, respecto a un satélite orbitando a la Tierra (obviando sus movimientos propios, pues únicamente consideramos los efectos de las fuerzas de atracción entre estos dos cuerpos), el profesor nos puso la energía total del sistema como:

$E_m (total) = \frac{1}{2}M_T v_T^2 + \frac{1}{2}mv^2 + ( -\frac{GM_Tm}{r})$

siendo $M_T$ la masa de la Tierra, $v_T$ su velocidad y $r$ la distancia entre el satélite y el centro de la Tierra.

Como $M_T \gg m \to E_c(T) \approx 0$

Por ello:

$E_m (total) = \frac{1}{2}mv^2 -\frac{GMm}{r}$


Pero el término $-\frac{GMm}{r}$ hace referencia a la energía potencial del cuerpo $m$ causado por el campo gravitatorio de la Tierra (trabajo realizado por el campo gravitatorio terrestre para llevar a ese cuerpo de masa $m$ desde el infinito hasta $r$).

Mi pregunta es por qué no tenemos en cuenta la energía potencial de la Tierra causada por el campo gravitatorio de la masa $m$

[Julián]

Re: Energía Potencial

La energía potencial es con respecto a más de 1 objeto. Habiendo satélite o tierra solamente no habría energía potencial gravitatoria sino habría potencial gravitatorio. Ejemplo, la tierra produce un potencial gravitatorio

$- \frac{G M}{r}$

Ahora bien, hay energía potencial cuando otro cuerpo entra a ese campo y dicha energía es el producto del potencial por la masa del cuerpo que entra.

$- \frac{G M}{r} m$

Pero esa energía no es del cuerpo o de la tierra sino del sistema cuerpo-tierra.

[The Higgs Particle]

Re: Energía Potencial

¿Y por qué no tenemos en cuenta el potencial gravitatorio de la masa $m$?

En el caso de la Tierra y Marte, por ejemplo, ¿cuál suponemos que es la masa que entra en un potencial gravitatorio preexistente?

[Julián]

Re: Energía Potencial

Una cosa es el potencial gravitatoria que es la energía potencial que produce tal objeto a una distancia $r$ para un cuerpo de masa unidad. Si observas la energía potencial surge de la definición como la capacidad de producir un trabajo, en donde el trabajo es la aplicación de una fuerza a lo largo de una trayectoria. Como energía potencial se toma que la trayectoria es desde la separación $r$ hasta una separación que se considera referencia, en este caso infinito.:

$\dst {\int}_{r}^{\infty} \vec{F} . d\vec{r}$

Obteniendo la expresión para la fuerza gravitatoria obtenida experimentalmente

${\int}_{r}^{\infty} - \frac{G Mm}{{r}^{2}} \hat{r} . d \vec{r} = - G \frac{mM}{r}$

Se observa que la energía depende de ambas masas y por lo tanto es una propiedad de ambas masas. Para obtener el potencial, solamente tenemos que tomar o a $M$ o $m$ como 1 y obtendremos para el caso de que si $M=1$ el potencial gravitatoria que produce la masa $m$ y si $m=1$ el potencial gravitatoria que genera la tierra.

El potencial gravitatorio es un campo escalar que nos brinda la información de energía potencial sobre unidad de masa que produce un cuerpo. Pero solo será igual en cuanto a magnitud (no unidad) igual a la energía potencial si efectivamente un cuerpo de masa unidad entra en la región espacial influenciada por el cuerpo que produce el potencial.

Para tener una idea, marte produce tal potencial gravitatorio y eso nos permite conocer que si hacemos una nave con tanta masa habrá tanta energía potencial siendo esta última la qapacidad de producir un trabajo (un trabajo que se transformará en calor y en energía cinética si se dirije en picada a marte) y el potencial una herramienta por así decirlo de cuanto trabajo marte produce en 1 para simplificar las cosas.

[Alriga]

Re: Energía Potencial

¿Y por qué no tenemos en cuenta el potencial gravitatorio de la masa $m$?

Porque es despreciable. Multiplica la masa del satélite por G te dará un valor muy pequeño que además tendrás que dividir por la distancia al punto considerado.

En el caso de la Tierra y Marte, por ejemplo, ¿cuál suponemos que es la masa que entra en un potencial gravitatorio preexistente?

No creo que tenga mucho sentido calcular el potencial gravitatorio en un punto del espacio debido exclusivamente a la Tierra y a Marte, sin tener en cuenta el Sol. No creo que pueda tener aplicación práctica. Y cuando ya hay tres cuerpos el problema general del movimiento debido a la interacción gravitatoria es complicado. No tiene solución mediante cuadraturas, hay que resolverlo por métodos numéricos:

El problema de los 3 cuerpos

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Energía Potencial

Creo que lo puedo responder cambiando la pregunta

Cual sería el potencial para traer a la tierra desde el infinito hasta una distancia r del objeto de masa m ..... el mismo, el potencial es para ambos... para el sistema tierra-objeto.

$-\dfrac Gr \:M\:m= -\dfrac {GM}r\:m=-\dfrac {Gm}r\:M$

Saludos $\mathbb R^3$

[The Higgs Particle]

Re: Energía Potencial

Porque es despreciable

Pero entonces sí que existe y, siendo muy rigurosos, sí que habría que tenerlo en cuenta. ¿Entonces por qué si puso el profesor la energía cinética de la Tierra pero luego la tachó por "ser despreciable", pero no hizo lo mismo con la E. potencial despreciable?

Cual sería el potencial para traer a la tierra desde el infinito hasta una distancia r del objeto de masa m ..... el mismo, el potencial es para ambos... para el sistema tierra-objeto.

¿Y por qué no se suman? ¿Por qué en la expresión de la Em total no es [Ec] $+2 \cdot (-\frac{GMm}{r})$?

[Julián]

Re: Energía Potencial

¿Y por qué no tenemos en cuenta el potencial gravitatorio de la masa ?

Es que vos al principio planteaste un diagrama de energía que te dio el profesor y no un diagrama de potenciales. Son cosas diferentes la energía potencial y el potencial. Cada cuerpo crea su potencial pero la energía potencial es con respecto al sistema, es decir a los 2 cuerpos.

La tierra solita en el espacio (situación hipotética) crea un campo potencial gravitatorio pero no hay energía potencial porque no hay con respecto a que. Ahora cuando está el satélite ahí si hay una energía potencial y hay 2 potenciales gravitatorios. ¿cuál es la energía potencial? pues puedes tomar cualquiera de los 2 potenciales y multiplicarlo por la masa del otro cuerpo.

[The Higgs Particle]

Re: Energía Potencial

Me parece que entonces no entiendo qué es la energía potencial, porque siempre la he entendido como la energía que posee un cuerpo al estar influenciado gravitatoriamente por otro y, siguiendo este razonamiento, debería haber un 2 en la fórmula de las energías.

[Richard R Richard]

Re: Energía Potencial

$E_m (total) = \frac{1}{2}M_T v_T^2 + \frac{1}{2}mv^2 + ( -\frac{GM_Tm}{r})$

....

Como $M_T \gg m \to E_c(T) \approx 0$

....
$E_m (total) = \frac{1}{2}mv^2 -\frac{GMm}{r}$

Creo que julian lo aclaró, pero por las dudas, te comento que las ecuaciones que puso tu profesor estan basadas en un sistema de referencia ubicado en el centro de masa del conjunto tierra- objeto

como el objeto tiene masa depreciable frente a la tierra, el centro de masa está muy pero muy cerca del centro de la tierra, por lo que se desprecia la energia cinetica debida a la rotacion de la tierra con respecto al CM y se toma como CM el centro de la tierra.

Luego cada objeto tiene su potencial gravitatorio ,la energia potencial de uno con respecto al otro debe ser la misma para ambos, no su suma.

Miralo de esta forma, aunque mas complicada, pon el sistema de referencia en un cuerpo de masa m a una distancia r de la tierra, con que aceleración la tierra se acerca hacia él.....$g$ no? bueno es que siempre tenemos la costumbre de poner al objeto de mayor masa como origen del sistema de referencia, por ej la tierra pues parece que no se mueve, pues en definitiva es la que menos se mueve con respecto al CM.

Saludos $\mathbb R^3$

[Julián]

Re: Energía Potencial

porque siempre la he entendido como la energía que posee un cuerpo al estar influenciado gravitatoriamente por otro

La energía potencial no es del cuerpo sino del sistema completo, vos mismo lo decís, al estar influenciado por otro. El cuerpo solo, solamente tiene energía cinética y su masa en reposo.

Es decir, la capacidad para producir un trabajo debido a la gravedad es entre la tierra y el satelite. Si se observa la fórmula del trabajo que escribí al principio este es la circulación de la fuerza desde la distancia en que se encuentra a tierra del satelite hasta una distancia teoricamente infinita. La energía potencial es de ambos, del sistema. Luego cada cual tendrá su energía cinética.

[alexpglez]

Re: Energía Potencial

Hola, en física, se da en 2 de bachilleraro aunque sin demostración, que la energía potencial del sistema es la suma de las energías potenciales sin repetir particulas, o 1/2 de la suma de todas. Esta demostración es puramente matemática que se deriva de Newton, estoy con el móvil y no puedo escribirlo pero si quieres mañana la puedo escribir.
La idea es, la energia potencial de la tierra producida por el sol es -GMm/r, la del sol con respecto a la Tierra -GMm/r. La energia potencial del sistema es -GMm/r (no repetimos Tierra-Sol y Sol-Tierra), o 1/2 (-GMm/r -GMm/r)
Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Energía Potencial

Muchas gracias a todos porque creo que por fin lo he entendido

Creo que julian lo aclaró, pero por las dudas, te comento que las ecuaciones que puso tu profesor estan basadas en un sistema de referencia ubicado en el centro de masa del conjunto tierra- objeto

Miralo de esta forma, aunque mas complicada, pon el sistema de referencia en un cuerpo de masa m a una distancia r de la tierra, con que aceleración la tierra se acerca hacia él.....$g$ no? bueno es que siempre tenemos la costumbre de poner al objeto de mayor masa como origen del sistema de referencia, por ej la tierra pues parece que no se mueve, pues en definitiva es la que menos se mueve con respecto al CM

Con eso me ha quedado ya totalmente claro. Muchas gracias

Hola, en física, se da en 2 de bachilleraro aunque sin demostración, que la energía potencial del sistema es la suma de las energías potenciales sin repetir particulas, o 1/2 de la suma de todas. Esta demostración es puramente matemática que se deriva de Newton, estoy con el móvil y no puedo escribirlo pero si quieres mañana la puedo escribir

La cosa está en que a mí sí me pusieron la demostración: $dW = - \vec F \cdot d \vec r$, siendo $\vec F = - \frac{GMm}{r^2} \vec u_r$

Así: $W = GMm \cdot \dst \int^r_{\infty} \frac{1}{r^2} dr = \frac{-GMm}{r} - \frac{-GMm}{r_{\infty}} = - \frac{GMm}{r} = E_p (r)$

Pero, así visto, puede llevar a lo que yo estaba pensando, puesto que en este sistema, formado por $m$ y $M$ se omite que se toma como referencia a la masa $M$, tal y como decía $R^3$

[Richard R Richard]

Re: Energía Potencial

Imagino que ya has caído en cuenta sobre lo que intentaba decir en el post#6 sin llegar a integrales

el trabajo de traer al objeto de masa m a un radio r de la masa M es

$E_{p1 (r)}=W_1 = GM \cdot \dst \int^r_{\infty} \frac{m}{r^2} dr = \frac{-GMm}{r} - \frac{-GMm}{r_{\infty}} = - \frac{GMm}{r}$


el trabajo de traer al objeto de masa M a un radio r de la masa m es

$E_{p2 (r)}=W_2 = Gm \cdot \dst \int^r_{\infty} \frac{M}{r^2} dr = \frac{-GMm}{r} - \frac{-GMm}{r_{\infty}} = - \frac{GMm}{r}$

Por lo que a estas alturas te debe ser de perogrullo que $E_{p1 (r)}=E_{p2 (r)}$

Es por ello un objeto que disminuya el radio debido a la atracción provocada por la fuerza $\vec F$, pierde energía potencial, que debe ganar en energía cinética para conservar la energía mecánica , es decir acelera en caída libre.

Saludos $\mathbb R^3$

[alexpglez]

Re: Energía Potencial

Respecto a setear un límite de integración en el infinito, no está mal del todo pero es incorrecto. Piensa en una fuerza que aumente con la distancia, por ejemplo $-kx$, calcula la energía potencial en base a la definición de ir de infinito hasta x.
La energía potencial, (no hablo de la energía potencial del sistema, si no la asociada a la fuerza que el sistema ejerce en conjunto a una partícula, una fuerza $\vec F$).
Siendo conservativa, el trabajo no depende de la trayectoria, que podemos llamar l, si no de los puntos inicial A y final B de la misma, podemos entonces hablar de una función energía potencial tal que.

$$\Delta E_p=E_p(B)-E_p(A)=-W=-\int_l \vec F \cdot d\vec r=-\int_A^B \vec F \cdot d \vec r=$$

$$-(\int_A^a \vec F \cdot d \vec r+\int_a^B \vec F \cdot \vec r)=-(\int_a^B \vec F \cdot \vec r -\int_a^A \vec F \cdot d \vec r)$$

Por tanto, podemos llamar:

$$E_p(A)=-\int_a^A \vec F \cdot d\vec r$$

Siendo $a$ un punto cualquiera del espacio. Como es arbitrario, podemos elegir el punto más sencillo tal que: $E_p(a)=0$, en el caso del potencial gravitatorio $a\;\;\;\; r=\infty$, en el caso del elástico $a\;\;\; x=0$
Dada la definición anterior, también podemos dar otra definición equivalente como integral indefinida:

$$E_p(\vec r)= -\int \vec F \cdot d \vec r$$

Y setear la constante de integración a 0 (equivalente a $E_p(a)=0$).

Saludos