Problema de velocidad límite en fluidos

[galgarabel]

Buenas tardes, escribo porque no se me ocurre ninguna idea de cómo podría resolver el problema que expongo a continuación:

Un objeto cae inmerso en un fluido que ejerce sobre él una fuerza de rozamiento proporcional a una cierta potencia de su velocidad v^n. Calcule la velocidad límite vL que llega a alcanzar tras un largo tiempo de caída. Considere los casos v0 = 0 y v0 > vL

Muchas gracias de antemano.

[Alriga]

Hola galgarabel, bienvenido a La web de Física, como miembro reciente lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

La 2ª Ley de Newton $\vec F=m\vec a$ aplicada a tu problema es:

$\vec P+\vec E +\vec F_R=m \vec a$

$-mg+E-k v^n=m\ddot x$

$E=\rho_f V g$ es el Empuje de Arquímedes, $\rho_f$ la densidad del fluido, $V$ el volumen del objeto que cae. $P$ es el peso y $F_R$ la fuerza de rozamiento.

Como:

$\dot v=\dfrac{dv}{dt}=\ddot x$

Sustituyendo

$-mg+E-k v^n=m\dfrac{dv}{dt}$

Ecuación diferencial en variables separadas:

$\dst \int dt=\int \dfrac{m \ dv}{(E-m g)-k v^n}$

El camino que queda a partir de aquí es integrar, despejar $v=v(t)$, y la velocidad límite será el límite para $t \to \infty$ de $v(t)$

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Quizás esté equivocado, pero diría que se debe tener en cuenta, además, al empuje, porque la fuerza de rozamiento entiendo que solo se refiere al rozamiento originado por la viscosidad.

De esta manera, si la velocidad límite, o terminal, es aquella velocidad constante que se alcanza tras un largo tiempo de caída, entonces significa que las tres fuerzas presentes se han llegado a equilibrar, siendo la resultante nula.

$P$ (peso)$=mg=\rho_sVg$.

$E$ (empuje)$=\rho_fVg$.

$F$ (fuerza de rozamiento)$=kv^n$.

Igualando,

$-\rho_sVg+\rho_fVg+kv^n=0$,

$v=\sqrt[n]{\dfrac{(\rho_s-\rho_f)Vg}{k}}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

Hola a tod@s.

Quizás esté equivocado, pero diría que se debe tener en cuenta, además, al empuje, porque la fuerza de rozamiento entiendo que solo se refiere al rozamiento originado por la viscosidad.


De esta manera, si la velocidad límite, o terminal, es aquella velocidad constante que se alcanza tras un largo tiempo de caída, entonces significa que las tres fuerzas presentes se han llegado a equilibrar, siendo la resultante nula.

$P$ (peso)$=mg=\rho_sVg$.

$E$ (empuje)$=\rho_fVg$.

$F$ (fuerza de rozamiento)$=kv^n$.

Igualando,

$-\rho_sVg+\rho_fVg+kv^n=0$,

$v=\sqrt[n]{\dfrac{(\rho_s-\rho_f)Vg}{k}}$.

Saludos cordiales,
JCB.

¡Excelente JCB! El enunciado pide solo la velocidad límite, no la expresión de la velocidad en cualquier momento: yo en mi post #2 además de obviar el empuje de Arquímedes, estaba matando moscas a cañonazos

Un comentario final: en la resolución de JCB se supone, naturalmente, que la densidad del fluido $\rho_f$ es constante y por lo tanto el empuje de Arquímedes también. Siendo tiquismiquis, eso puede no suceder, por ejemplo si el fluido es el aire, la densidad disminuye con la altura, al nivel del mar es 1.23 kg/m³ y a 11 km de altura ha descendido a 0.36 kg/m³ Pero de todos modos eso influiría muy poco, puesto que para un objeto normal que se dejase caer en el aire, la densidad del objeto $\rho_s$ seguramente será unas mil veces mayor que la del aire, con lo que en la expresión que da JCB de la velocidad terminal, para el caso del aire se puede despreciar $\rho_f$ frente a $\rho_s$ (Para objetos densos que caen en el aire, el empuje de Arquímedes es despreciable) Si $m$ es la masa del objeto que cae, en el aire, la velocidad terminal es entonces, aproximadamente:

$v_{\infty} \approx \sqrt[n]{\dfrac {mg}{k}}$.

Saludos.

[galgarabel]

Muchas gracias, Alriga y JCB, por vuestras explicaciones sobre el problema. Ya he conseguido entender a qué se refería el enunciado y resolver algunas dudas que tenía sobre el concepto de velocidad límite.