Secundaria Velocidades de traslación máxima y mínima.

[Nekyre]

El problema trata de obtener las velocidades máximas y mínimas de traslación de la Tierra alrededor del Sol a partir del vector posición dado en función del ángulo que forma con el semieje X positivo. También se da el tiempo en función del ángulo:

$r=(cos\alpha-e)\hat{\imath}+(\sqrt{1-e}*sen\alpha)\hat{\jmath}$

$t=\frac{\alpha-esen\alpha}{2\pi}$

Mi pregunta es cómo puedo derivar el vector posición respecto al tiempo sin calcular alfa en función del tiempo, ya que por métodos elementales no es posible.

[visitante20160513]

Re: Velocidades de traslación máxima y mínima.

Para derivar dichas expresiones respecto del tiempo puedes utilizar la regla de la cadena:

$x'=\displaystyle\frac{dx}{d\alpha}\frac{d\alpha}{dt}\qquad\qquad y'=\frac{dy}{d\alpha}\frac{d\alpha}{dt}$

Al final obtienes las componentes de la velocidad orbital de la tierra alrededor del sol, que puedes expresar en función del ángulo o en función del tiempo, al gusto.

Salu2, Jabato.

[felmon38]

Re: Velocidades de traslación máxima y mínima.

Hola:

Si derivas la primera ecuación obtienes el vector velocidad en función de α y α'. Si derivas también la segunda ecuación respecto del tiempo puedes despejar α' en función de α y sustituirla en la primera ecuación con lo que ya tienes el valor del vector velocidad en función de α.

Saludos

Veo que Jabato ya te ha contestado en detalle.

[Alriga]

Re: Velocidades de traslación máxima y mínima.

Obtener la velocidad en función del ángulo es fácil.
Conocido el ángulo $\alpha$ , el semieje mayor de la elipse $a$ y la excentricidad $e$
El radio vector es:

$r(\alpha)=\dfrac{a(1-e^2)}{1+e \cos \alpha}$

Si $T$ es el periodo de traslación, la velocidad a partir del radio vector es:

$v(r)=\dfrac{2 \pi}{T} a \sqrt{\dfrac{2a}{r} - 1}$

La velocidad máxima es en el perihelio, cuando $\alpha=0$ y la mínima en el afelio cuando $\alpha=\pi$

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Mi pregunta es cómo puedo derivar el vector posición respecto al tiempo sin calcular alfa en función del tiempo, ya que por métodos elementales no es posible.

El procedimiento "académico" sería derivar respecto de $\alpha$ la expresión:

$r(\alpha)=\dfrac{a(1-e^2)}{1+e \cos \alpha}$

Con ello obtienes la velocidad en función de $\alpha$. Derívala otra vez e iguálala a cero. Las soluciones son $\alpha=0$ (perihelio) que es un máximo para la velocidad y $\alpha=\pi$ (afelio) que es un mínimo. Pero te advierto que es un carro de operaciones.

[Nekyre]

Re: Velocidades de traslación máxima y mínima.

Ahora lo entiendo. Mi error se encontraba en querer expresar el ángulo en función del tiempo, cuando esto no es necesario. Basta seguir los pasos que habéis comentado y ya se obtiene el vector velocidad.

Sin embargo ahora me surgió otra pregunta. Como comenta Alriga las velocidades máxima y mínima son en el perihelio y en el afelio respectivamente. Pero si en el problema no conocemos este dato habría que derivar la velocidad para obtener el máximo y el mínimo. ¿Lo que debe derivarse es el vector velocidad o el módulo del vector velocidad?

Respecto a la expresión del radio vector Alriga, ¿se obtiene por las propiedades geométricas de la elipse?

[Alriga]

Re: Velocidades de traslación máxima y mínima.

Como comenta Alriga las velocidades máxima y mínima son en el perihelio y en el afelio respectivamente. Pero si en el problema no conocemos este dato habría que derivar la velocidad para obtener el máximo y el mínimo. ¿Lo que debe derivarse es el vector velocidad o el módulo del vector velocidad?

Hay que derivar el módulo de la velocidad. Y el módulo de la velocidad es la derivada de $r(\alpha)$ . Es decir has de igualar a cero la derivada segunda de $r(\alpha)$ . Pero por otro lado, ante una cuestión "de examen" que te lo preguntase, podrías ahorrarte derivar la velocidad diciendo que el conocimiento de la II Ley de Kepler: "El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales" te permite afirmar que la velocidad máxima es cuando el radio vector es mínimo (perihelio) y la velocidad es mínima cuando el radio vector es máximo (afelio)

Respecto a la expresión del radio vector Alriga, ¿se obtiene por las propiedades geométricas de la elipse?

Sí, se deduce de la definición de la elipse, expresando su ecuación en polares, colocando el centro de coordenadas a partir del que se mide el radio vector en el foco principal y midiendo el ángulo a partir del perihelio. La deducción se encuentra en muchos lugares de Internet, pero si no la encuentras me lo dices y te la busco.
Saludos.